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课件网) 第七章 <<< 7.3.1 离散型随机变量的均值 1.掌握离散型随机变量的均值的概念和性质. 2.掌握两点分布的均值. 3.会利用离散型随机变量的均值和性质，解决一些相关的实际问题. 学习目标 在射击运动中，射击选手的每次射击成绩是一个非常典型的随机事件. (1)如何刻画每个选手射击的技术水平与特点？ (2)如何比较两个选手的射击情况？ (3)如何选择优秀的射击运动员代表国家参加奥运会才能使得获胜的概率较大？这些问题的解决都需要离散型随机变量的知识. 导 语 一、离散型随机变量的均值 二、均值的性质 课时对点练 三、均值的应用 随堂演练 内容索引 一 离散型随机变量的均值 某人射击10次，所得环数分别是7，7，7，7，8，8，8，9，9，10，则所得的平均环数是多少？ 问题1 提示 ==7×+8×+9×+10×=8. (1)均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)= =xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称 . (2)两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)= . x1p1+x2p2+…+xnpn 期望 0×(1-p)+1×p=p 分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平. 注 意 点 <<< (1)某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分.已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是 A.0.2 B.0.8 C.1 D.0 例 1 因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2， 所以E(X)=1×0.8+0×0.2=0.8. √ (2)某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止. 如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和均值，并求李明在一年内领到驾照的概率. ξ的所有可能取值为1，2，3，4. ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了， 故P(ξ=1)=0.6. ξ=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了， 故P(ξ=2)=(1-0.6)×0.7=0.28. ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(ξ=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096. ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过， 故P(ξ=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024. 则ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 所以E(ξ)=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544. 李明在一年内领到驾照的概率为 1-(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.9)=0.997 6. (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值. (2)求出X取每个值的概率P(X=k). (3)写出X的分布列. (4)利用均值的定义求E(X). 反 思 感 悟 求随机变量X的均值的方法和步骤 从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中随机逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同.若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值. 跟踪训练 1 由题意知X的所有可能取值为2，3，4，5. 当X=2时，表示前2次取的都是红球， ∴P(X=2)==； 当X=3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第3次取红球， ∴P(X=3)==； 当X=4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4次取得红球， ∴P(X=4)==； 当X=5时，表示前4次中取得1个红球，3个不是红球，第5次取得红球， ∴P(X=5)==. ∴X的分布列为 X 2 3 4 5 P ∴E(X)=2×+3×+4×+5×=4. 二 均值的性质 提示 X，η的分布列为 若X，η都是离散型随机变量，且η=aX+b(其中a，b是常数)，那么E(η)与E(X)有怎样的关系？ 问题2 X x1 x2 … xi … xn η ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b P p1 p2 … pi … pn 则E(η)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)p ... ...
