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课件网) 第七章 <<< 习题课 二项分布与超几何分布的综合应用 1.掌握二项分布的综合应用. 2.掌握超几何分布的综合应用. 3.了解二项分布与超几何分布的区别与联系. 学习目标 一、二项分布的综合应用 二、超几何分布的综合应用 课时对点练 随堂演练 内容索引 三、二项分布与超几何分布的区别与联系 一 二项分布的综合应用 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个红绿灯，假设他在各红绿灯遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的均值； 例 1 方法一 由ξ~B，得 P(ξ=k)=××，k=0，1，2，3，4，5. 即P(ξ=0)=××=， P(ξ=1)=××=， P(ξ=2)=××=， P(ξ=3)=××=， P(ξ=4)=××=，P(ξ=5)=×=. 故ξ的分布列为 ∴E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=. 方法二 ∵ξ~B，∴E(ξ)=5×=. ξ 0 1 2 3 4 5 P (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列； P(η=k)=P(前k个是绿灯，第k+1个是红灯)=×，k=0，1，2，3，4，η=5时，5个均为绿灯. 即P(η=0)=×=， P(η=1)=×=， P(η=2)=×=， P(η=3)=×=， P(η=4)=×=，P(η=5)==. 故η的分布列为 η 0 1 2 3 4 5 P (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 所求概率为P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-=. (1)二项分布的实际应用类问题的求解步骤 ①根据题意设出随机变量； ②分析随机变量服从二项分布； ③求出参数n和p的值； ④根据二项分布的均值、方差的计算公式求解. (2)利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生概率的和，或者利用对立事件求概率. 反 思 感 悟 学校组织某种知识竞赛，竞赛规则是：两人组成一个“组合”，进行多轮竞赛，每一轮竞赛中，一个“组合”的两人分别各答3道题，若答对的题目总数不少于5道题，此“组合”获得20分.已知小华和小夏两人组成“华夏组合”，小华、小夏每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响. (1)求“华夏组合”在一轮竞赛中获得20分的概率； 跟踪训练 1 设小华和小夏答对的题目个数分别为a1和a2， 则所求的概率P=P(a1=2，a2=3)+P(a1=3，a2=2)+P(a1=3，a2=3) =××+×××+×=， 故“华夏组合”在一轮竞赛中获得20分的概率为. (2)若每轮竞赛互不影响，“华夏组合”期望至少要获得100分，则理论上至少要进行多少轮竞赛？ 依题意知“华夏组合”在竞赛中得分的轮数X满足X~B(n，p)， 由(1)得p=， 由np≥5 n≥5 n≥≈8.4. 所以“华夏组合”期望至少要获得100分，则理论上至少要进行9轮竞赛. 二 超几何分布的综合应用 交通拥堵指数(TPI)是衡量交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：TPI=，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如表所示的4个等级： 例 2 TPI [1，1.5) [1.5，2) [2，4) 不低于4 拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵 某市2024年元旦及前后共7天与2023年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如图： (1)从2023年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率； 由题图可知，2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天， 所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为. (2)从2024年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2023年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及均值E(X). 由题图可知，2024年元旦及前后共7天中TPI比2023年同日高的只有1月3日和1月4日这2天， 所以X的可能取值为0，1，2， 则P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×= ... ...
