2023年全国高中数学联赛江苏赛区苏州市选拔赛试题 (原卷版+解析版)

2023年全国高中数学联赛江苏赛区苏州市选拔赛试题 一、填空题(本大题共10小题，每小题7分，共70分) 1．钝角三角形的三边长分别为，则实数的取值范围是_____． 2．已知直线，则与所成角相等的直线的斜率为_____． 3．已知，则的最小值为_____． 4．已知，则_____． 5．已知数列满足，则的通项公式为_____． 6．已知椭圆，椭圆的公切线与轴交于点，则点的坐标为_____． 7．如图，在面积为2的矩形中，点为边的中点，将和分别沿边翻折，使得重合于点，则三棱锥体积的最大值为_____． 8．方程有四个复数根，其中模长最大的复数根的实部为_____． 9．已知某公交始发站有三种班次的车在上午六点同时发车，且发车的时间间隔依次为10分钟，12分钟，15分钟．若小明在上午八点到十二点之间某一时刻到达始发站乘坐这三种班车之一，则小明平均等车的时间为_____分钟。 10．集合的非空子集中，元素和是10的倍数的子集称为好子集，则的好子集共有_____个． 二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分) 11．已知正数数列满足：． 求证：(1)； (2)． 12．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与轴交于点． (1)若，求直线的方程； (2)求外心的轨迹方程． 13．如图，的外接圆为圆，的外接圆分别为圆和圆，的延长线与圆交于点的延长线与圆交于点．求证：为圆的切线． 14．下图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，一开始所有开关均关闭．按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按(2，2)将导致改变状态．如果要求每个开关至多按一次，按开关的总次数最少一次． (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (1)末状态恰好是这6处开关打开，问至少需要按多少次 请给出证明； (2)若要求所有开关均关闭，至少需要按多少次 请直接写出结果和一个方案．2023年全国高中数学联赛江苏赛区苏州市选拔赛试题 一、填空题(本大题共10小题，每小题7分，共70分) 1．钝角三角形的三边长分别为，则实数的取值范围是_____． 【详解】 所以实数的取值范围是(1，3)． 2．已知直线，则与所成角相等的直线的斜率为_____． 【详解】设直线的斜率为，则 ． 3．已知，则的最小值为_____． 【详解】， 等号成立时． 4．已知，则_____． 【详解】令，令． 所以． 5．已知数列满足，则的通项公式为_____． 【详解】 又． 所以． 6．已知椭圆，椭圆的公切线与轴交于点，则点的坐标为_____． 【详解】如图，作变换则椭圆变换为圆， 圆． 设此时公切线方程为， 于是 或(舍去)， 从而． 则公切线方程为． 所以椭圆的公切线方程为． 7．如图，在面积为2的矩形中，点为边的中点，将和分别沿边翻折，使得重合于点，则三棱锥体积的最大值为_____． 【详解】如图，平面． 设，则． 于是， 设， 则在上单调递增，在上单调递减，即． 所以三棱锥体积的最大值为． 8．方程有四个复数根，其中模长最大的复数根的实部为_____． 【详解】令，则 ． 于是原方程模长最大的复数根为，实部为． 9．已知某公交始发站有三种班次的车在上午六点同时发车，且发车的时间间隔依次为10分钟，12分钟，15分钟．若小明在上午八点到十二点之间某一时刻到达始发站乘坐这三种班车之一，则小明平均等车的时间为_____分钟。 【详解】，则，于是只需考虑一个小时的情况即可． 如上图所示，在区间和上的平均等车时间为5分钟；在区间和上的平均等车时间为1分钟；在区间和上的平均等车时间为1．5分钟；在区间和上的平均等车时间为2．5分钟；在区间和上的平均等车时间为2分钟；在区间和上的平均等车时间为3分钟． 所以小明平均等车的时间为分钟． 10．集合的非空子集中，元素和是10 ... ...