2024年第40届中国数学奥林匹克(CMO)决赛试题（第一天）（PDF版，含解析）

2024 年（40 届）中国数学奥林匹克 第一天 α2 1. 设无理数 α > 1，整数 L > . 整数列 {xn} 满足 x1 > L，且对正整 α 1 数 n， { [[αxn]], xn ≤ Lxn+1 = xn . , xn > L α 求证：(1) {xn} 最终周期；(2) {xn} 最终的最小正周期是一个与 x1 无关的奇数. 2. 如图，在△ABC 中，I 是内心，L,M,N 分别是 AI,AC,CI 的中点. 点D在 线段 AM 上，满足 BC = BD，△ABD 的内切圆与 AD,BD 分别切于点 E,F . J 是 △AIC 的外心，ω 是 △JMD 的外接圆，MN,JL 与 ω 分别再次交于点 P,Q. 求证：PQ,LN,EF 三线共点. 3. 设整数 a1 > a2 > · · · > an > 1，记 M ={lcm}(a1, a2, · · · , an). 对非空有限正整数集 X，记 ∑ x f(X) = min . 1≤i≤n a x∈ iX 称 X 是“极小的”，如果对任意 X 的真子集 Y，均有 f(Y ) < f(X). 设 X 极小 2 且 f(X) ≥ ，求证：|X| ≤ f(X)M . an 1 2024 年（40 届）中国数学奥林匹克 第二天 4. 定义坐标平面上两点 P√1(x1, y1) 和 P2(x2, y2) 之间的“小数距离”为 ∥x x ∥2 + ∥y y ∥21 2 1 2 其中 ∥x∥ 表示实数 x 到最近整数的距离．求最大的实数 r，使得平面上存在四点， 它们两两的小数距离均不小于r. 5. 对素数 p，设 f 为 S = {0, 1, · · · , p 1} 到自身的一个双射. 满足：对任 意 a, b ∈ S，若 p | a2 b，则 |f(a) f(b)| ≤ 2024．求证：存在无穷多个素数 p， 使得这样的映射 f 存在；也存在无穷多个素数 p，使得这样的映射 f 不存在. 6. 设实数 a1, a2, · · · , a∑ n 满足 n ∑n ∑n ai = n, a 2 i = 2n, a 3 i = 3n. i=1 i=1 i=1 (1) 求最大的常数 C，使得对任意 n ≥ 4，都有 max{a1, a2, · · · , an} min{a1, a2, · · · , an} ≥ C. (2) 求证：存在常数 C2 > 0，使得 3 max{a1, a2, · · · , an} min{a1, a2, · · · , an} ≥ C + C2n 2 , 其中 C 为 (1) 中所求的值. 2 2 1. 给定无理数 α > 1 及正整数 L > α ， 正整数数列 {xn} 满足 x1 > L 且对任意正整数 n，均有α 1 αxn ，xn L xn = xn ，xn > L α (1) 证明：{xn} 是最终周期的. (2) 证明：{xn} 的最小正周期是一个与 x1 无关的奇数. 解： 显然数列中存在一项不大于 L，由于此数列中去掉初始的若干项后不影响结论，故不妨设 x1 为此 数列中第一个不大于 L 的项，记其前项为 x0，重新证明命题，我们有以下结论. 结论一：对任意的正整数 n，有 L+ 1 xn < αL. α 结论一的证明： 首先由 x0 L+ 1 易知 L+ 1 x1 L < αL，由于对任意的正整数 k，若 L+ 1 xk L， α α 则由 x = αx 可知 L+ 1k+1 k xk xk+1 αL < αL；若 L+1 xk < αL，则由 x = xkk+1 α α 可知 L+ 1 xk+1 L < αL，根据归纳公理知结论一得证. α 进一步地，由结论一知此正整数数列中每一项均小于 αL，而这样的不同正整数仅有有限个，因而 必存在两项相同，又由于此数列后项由前项唯一确定，所以 {xn} 是最终周期的. 同样地，不妨去掉初始的若干项，将数列改为纯周期数列重新考虑 . ∣ { 结论二：取此数列中不大于 L 的最大项为 t，定义集合 A = a ∈ N ∣ L+ 1 a t ，B =α b ∈ N ∣∣ }L+ 1 b < αt ，首先，同上归纳可知数列中的所有项均为 A ∪ B 中的元素，我们证明此数 列对任意正整数 i 满足如下结论： （1）若 xi ∈ A 且 x = L+ 1i ，则 xi+1 ∈ B； α （2）若 x ∈ A 且 x = L+ 1i i ，则 xi+1 = t ∈ A； α （3）若 xi ∈ B，则 xi+1 ∈ A\{t}. 结论二的证明： 由于 α L+ 1 < L+1， α( L+ 1 +1) L+1 且对任意的 xi ∈ B 必有 xi+1 < t，因而由数 α α 列中存在正整数 t 知，其前项必为 L+ 1 ，所以结论（1）、（2）成立，结论（3）显然. α 回到原题，在数列中取 xp = xq = t（p < q）且 xp 与 xq 间不存在值为 t 的项 ... ...