山西2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试题（含解析）

山西2024 2025学年高二上学期期中考试数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1．直线的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 2．已知命题p：“”，命题q：“直线与直线垂直”，则命题p是命题q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 3．圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A． B． C． D． 4．已知平行六面体的各棱长均为1，，，则（ ） A． B． C． D． 5．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ） A． B． C． D． 6．若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 7．已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的焦距为（ ） A． B． C． D． 8．已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题） 9．已知曲线，则（ ） A．当时，是圆 B．当时，是椭圆且一焦点为 C．当时，是椭圆且焦距为 D．当时，是焦点在轴上的椭圆 10．如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是底面正方形ABCD内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ） A．存在点满足 B．满足的点的轨迹长度是 C．满足平面的点的轨迹长度是 D．满足的点的轨迹长度是 11．通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ） A． B． C．四边形的内切圆过焦点， D．轴，且 三、填空题（本大题共3小题） 12．圆与圆的公共弦所在直线的方程为 . 13．，，函数的最小值为 . 14．如图，圆台中，上、下底面半径比为，为圆台轴截面，母线与底面所成角为，上底面中的一条直径满足，则夹角余弦值为 ． 四、解答题（本大题共5小题） 15．已知空间三点，设. (1)求和的夹角的余弦值； (2)若向量与互相垂直，求的值. 16． 在平面直角坐标系xOy中，已知的顶点，AB边上中线CD所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为，求： (1)顶点C的坐标； (2)求的面积. 17．已知圆C：和定点，直线l：（）. (1)当时，求直线l被圆C所截得的弦长； (2)若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围. 18．如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，是的中点. (1)求证：平面. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. (3)若，线段上是否存在一点，使平面 若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 19．已知椭圆：，A，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，若，且当直线轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)设直线，的斜率分别为，，问是否为定值？并证明你的结论； (3)记的面积为S，求S的最大值． 参考答案 1．【答案】D 【详解】可变形为，，，选D 2．【答案】A 【详解】若直线与直线垂直， 则，得，或， 所以命题p是命题q的充分不必要条件， 故选：A 3．【答案】D 【分析】把圆的方程化为标准方程即可求解 【详解】由可得 ， 所以圆心坐标和半径分别是， 故选：D 4．【答案】B 【详解】取为空间向量的基底，因为，，， 所以，. 因为， 所以， 所以. 故选：B 5．【答案】A 【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系， 则椭圆方程为， 则，且， 解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为 ， 又，所以. 故选：A 6．【答案】D 【详解】圆，即，圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 由圆与圆关于直线对称， 可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线上，所以，解得， 经检验，满足题意，则点的坐标为， 设圆心为坐标为，则，整理得， ... ...