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课件网) 21.2.2 公式法 21.2 解一元二次方程 第二十一章 一元二次方程 请用配方法解一元二次方程2x2+4x+1=0. 【解析】移项，得 2x2+4x=-1 二次项系数化为1，得 x2+2x=- 配方，得 x2+2x+1=- +1 即 (x+1)2= 开方，得 x+1= ,x+1=- ∴x1= -1,x2=- -1. 1.了解一元二次方程求根公式的推导过程； 2.会熟练应用公式法解一元二次方程． 3.理解一元二次方程根的判别式的概念，并能应用根的判别式解决问题. 用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 方程两边都除以a 【解析】 移项，得 配方，得 即 问题：接下来能用直接开平方解吗？ 即 一元二次方程的求根公式 特别提醒 ∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ≥0时， ∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ＜0时， 而x取任何实数都不能使上式成立. 因此，方程无实数根. 【归纳】 一般地，式子b2-4ac＜0叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ” 表示它，即Δ=b2-4ac. 【归纳】 当Δ＞0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0)有两个不相等的实数根； 当Δ=0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0)有两个相等的实数根； 当Δ＜0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0)无实数根. 【归纳】 当Δ≥0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 直接利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 【例1】一元二次方程 的根的情况 是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【例题】 【解析】 ∵b2-4ac=(-5)2-4×2×1=17＞0, ∴原方程有两个不相等的实数根. A 【解析】 a=2 , b=5 , c= -3 ∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49＞0. ∴ x = ∴ x1=-3, x2= 【例2】用公式法解方程:2x2+5x-3=0. 【例题】 （2021·淮北质检）用公式法解方程:x2-5x-1=0. 【解析】 这里a=1, b=-5 , c=-1 b2-4ac= x= 即 x1 , x2 （-5）2-4×1×(-1)=29>0 【跟踪训练】 【例3】用公式法解方程: 【解析】方程两边同乘以3,得 2x2 -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2 ∴b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=25 即x1=2，x2= 【例题】 解方程： 【解析】化简为一般式 a=1, b= , c= 3 ∵b2 - 4ac=( )2 - 4×1×3=0 【跟踪训练】 即 x1= x2= . 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2.求出b2-4ac的值. 3.若b2-4ac≥0代入求根公式: (a≠0, b2-4ac≥0) 否则原方程无解. 4.写出方程的解： x1= , x2= 【归纳】 1.由公式法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，若 b2-4ac≥0得求根公式： 通过本课时的学习，需要我们掌握： 2.会熟练应用公式法解一元二次方程． 3.能应用根的判别式解决问题. 1.（2021·定远一模）关于x的方程(x-1)(x+2)=m2( m 为常数) 的根的情况，下列结论中正确的是（ ） A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【解析】 ∵关于x的方程(x-1)(x+2)=m2( m 为常数) ∴ x2 + x-2-m2=0 ∵b2-4ac=12+8+4 m2 =9+4m2>0, ∴方程有两个不相等的实数根. A 2.用公式法解下列方程： (1)x2 +2x=5 (2) 6t2 -5=13t (3)（x-2)(1-3x)=6 这里 a=3, b=-7, c=8 ∵b2-4ac=(-7)2-4×3×8=49-96=-47<0 ∴原方程没有实数根 【解析】去括号，得 x-2-3x2+6x=6 化简为一般式，得 3x2-7x+8=0 【解析】当a-5=0时，有实数解x= ，此时a=5； 当 时，应满足 ， 解得a≥1， 综上所述a≥1. 3.关于x的方程(a-5)x2－4x－1＝0有实数根，求a的 取值范围. 数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏得 极深. ———高斯 ... ...
