1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( √ ) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.( √ ) 2、在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于( ) A．－1 B．0 C．1 D．6 答案 B 解析 由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，故选B. 3、已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于( ) A．100 B．99 C．98 D．97 答案 C 解析 由等差数列性质，知S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝＝1， ∴a100＝a10＋90d＝98，故选C. 4、已知数列{an}中，a3＝3，an＋1＝an＋2，则a2＋a4＝_____，an＝_____. 答案 6 2n－3 解析 由已知得an＋1－an＝2，所以{an}为公差为2的等差数列，由a1＋2d＝3，得a1＝－1， 所以an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3，a2＋a4＝2a3＝6. 5、若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝_____时，{an}的前n项和最大． 答案 8 解析 因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故当n＝8时，其前n项和最大. 无 题型一 等差数列基本量的运算 例1 (1)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为( ) A．2 B．10 C. D. (2)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝_____. 答案 (1)C (2)6 解析 (1)由2an＋1＝1＋2an得an＋1－an＝， 所以数列{an}是首项为－2，公差为的等差数列， 所以S10＝10×(－2)＋×＝. (2)∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0. 又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2. ∴S6＝6×6＋×(－2)＝6. 【同步练习】 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( ) A．13 B．35 C．49 D．63 (2)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是_____． 答案 (1)C (2)20 解析 (1)∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14， ∴S7＝＝49. (2)设等差数列{an}的公差为d，由题意可得 解得 则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20. 题型二 等差数列的判定与证明 例2 已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)． (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为an＝2－(n≥2，n∈N*)， bn＝(n∈N*)， 所以bn＋1－bn＝－ ＝－＝－＝1. 又b1＝＝－. 所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列． (2)解 由(1)知bn＝n－， 则an＝1＋＝1＋. 设f(x)＝1＋， 则f(x)在区间(－∞，)和(，＋∞)上为减函数． 所以当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3. 引申探究 例2中，若条件变为a1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式． 解 由已知可得＝＋1， 即－＝1，又a1＝， ∴是以＝为首项，1为公差的等差数列， ∴＝＋(n－1)·1＝n－， ∴an＝n2－n. 【同步练习】 (1)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项为( ) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 答案 A 解析 由已知式＝＋可得 －＝－，知{}是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝. (2)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2. ①设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列； ②求{an}的通项公式． ①证明 由an＋2＝2an＋1－an＋2， 得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2， 即bn＋1＝bn＋2. 又b1＝a2－a1＝1， 所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列． ②解 由①得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1， 即an＋1 ... ...
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