【高三数学】一轮复习：6.4数列求和 学案 (原卷版+解析版)

1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　√　) (2)当n≥2时，＝(－)．(　√　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　×　) (4)数列{＋2n－1}的前n项和为n2＋.(　×　) (5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　√　) 2、设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于(　　) A. B. C. D．n2＋n 答案　A 解析　设等差数列的公差为d，则a1＝2， a3＝2＋2d，a6＝2＋5d. 又∵a1，a3，a6成等比数列，∴a＝a1·a6. 即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，整理得2d2－d＝0. ∵d≠0，∴d＝. ∴Sn＝na1＋d＝＋n. 3、数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和Sn＝，则n等于(　　) A．2 016 B．2 017 C．2 018 D．2 019 答案　B 解析　an＝＝－， Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝(1－＋－＋…＋－) ＝1－＝. 令＝，得n＝2 017. 4、数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　) A．200 B．－200 C．400 D．－400 答案　B 解析　S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 5、数列{an}的通项公式为an＝ncos ，其前n项和为Sn，则S2 017＝_____. 答案　1 008 解析　因为数列an＝ncos 呈周期性变化，观察此数列规律如下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4. 故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2. a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8， 故a5＋a6＋a7＋a8＝2，∴周期T＝4. ∴S2 017＝S2 016＋a2 017 ＝×2＋2 017·cos π ＝1 008. 无 题型一　分组转化法求和 例1　已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n. a1也满足an＝n， 故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则A＝＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. 引申探究 例1(2)中，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　由(1)知bn＝2n＋(－1)n·n. 当n为偶数时， Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n] ＝＋＝2n＋1＋－2； 当n为奇数时，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n] ＝2n＋1－2＋－n＝2n＋1－－. ∴Tn＝ 【同步练习】 1、已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n·(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前n项和Sn. 解　Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3， 所以当n为偶数时， Sn＝2×＋ln 3＝3n＋ln 3－1； 当n为奇数时， Sn＝2×－(ln 2－ln 3)＋(－n)ln 3 ＝3n－ln 3－ln 2－1. 综上所述，Sn＝ 题型二　错位相减法求和 例2　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 解　(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5， 当n＝1时，a1＝S1＝11，满足上式，所以an＝6n＋5. 设数列{bn}的公差为d.由 即可解得所以bn＝3n＋1. (2)由(1)知，cn＝＝3(n＋1)·2n＋1， 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn， 得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]， 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]． 两式作差，得－T ... ...