1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( × ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( × ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( × ) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( × ) (5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( √ ) (6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.( √ ) 2、用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ (a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是( ) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 答案 C 解析 当n＝1时，n＋1＝2， ∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2. 3、已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2(＋＋…＋)时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( ) A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立 C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 答案 B 解析 因为n为正偶数，n＝k时等式成立， 即n为第k个偶数时命题成立， 所以需假设n为下一个偶数，即n＝k＋2时等式成立． 4、在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于( ) A．1 B．2 C．3 D．0 答案 C 解析 凸n边形边数最小时是三角形， 故第一步检验n＝3. 5、已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝_____，a3＝_____，a4＝_____，猜想an＝_____. 答案 3 4 5 n＋1 无 题型一 用数学归纳法证明等式 例1 设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)． 证明 ①当n＝2时，左边＝f(1)＝1， 右边＝2(1＋－1)＝1， 左边＝右边，等式成立． ②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当n＝k＋1时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k) ＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k ＝(k＋1)[f(k＋1)－]－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当n＝k＋1时结论成立． 由①②可知当n∈N*时，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)． 【同步练习】 1、用数学归纳法证明： ＋＋…＋＝(n∈N*)． 证明 ①当n＝1时，左边＝＝， 右边＝＝， 左边＝右边，等式成立． ②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立． 即＋＋…＋＝， 当n＝k＋1时， 左边＝＋＋…＋＋ ＝＋ ＝ ＝ ＝， 右边＝ ＝， 左边＝右边，等式成立． 即对所有n∈N*，原式都成立． 题型二 用数学归纳法证明不等式 例2 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上． (1)求r的值； (2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式··…·>成立． (1)解 由题意，Sn＝bn＋r， 当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r. 所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)． 由于b>0且b≠1， 所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列． 又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)， 所以＝b，即＝b，解得r＝－1. (2)证明 由(1)及b＝2知an＝2n－1. 因此bn＝2n(n∈N*)， 所证不等式为··…·>. ①当n＝1时，左式＝，右式＝， 左式>右式，所以结论成立． ②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立， 即··…·>， 则当n＝k＋1时， ··…··>·＝， 要证当n＝k＋1时结论成立， 只需证≥， 即证≥， 由基本不等式得＝≥成立， 故≥成立， 所以当n＝k＋1时，结论成立． 由①②可知，当n∈N*时，不等式··…·>成立． 【同步练习】 1、若函数f(x)＝x2－2x－3，定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过点P(4,5)、Qn(xn，f ... ...
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