1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x＋的最小值是2.( × ) (2)函数f(x)＝cos x＋，x∈(0，)的最小值等于4.( × ) (3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．( × ) (4)若a>0，则a3＋的最小值为2.( × ) (5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．( × ) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 2、设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A．80 B．77 C．81 D．82 答案 C 解析 ∵x>0，y>0，∴≥， 即xy≤()2＝81， 当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81. 3、已知x>0，a>0，当y＝x＋取最小值时，x的值为( ) A．1 B．a C. D．2 答案 C 解析 y＝x＋≥2， 当且仅当x＝即x＝时， y＝x＋有最小值2. 4、若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.≤ B.＋≤1 C.≥2 D．a2＋b2≥8 答案 D 解析 4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立． 5、若正数x，y满足x2＋4y2＋x＋2y＝1，则xy的最大值为_____． 答案 解析 由题意得 1＝x2＋4y2＋x＋2y≥4xy＋2·， 则≤，则xy≤()2＝. 无 题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 通过配凑法利用基本不等式 例1 (1)已知01)的最小值为_____． 答案 (1) (2)1 (3)2＋2 解析 (1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·[]2＝， 当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号． (2)因为x<，所以5－4x>0， 则f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立． 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1. (3)y＝＝ ＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 当且仅当(x－1)＝，即x＝＋1时，等号成立． 命题点2 通过常数代换法利用基本不等式 例2 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为_____． 答案 4 解析 ∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴＋＝＋＝2＋＋ ≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立． 引申探究 1．若条件不变，求(1＋)(1＋)的最小值． 解 (1＋)(1＋)＝(1＋)(1＋)＝(2＋)·(2＋) ＝5＋2(＋)≥5＋4＝9. 当且仅当a＝b＝时，取等号． 2．已知a>0，b>0，＋＝4，求a＋b的最小值． 解 由＋＝4，得＋＝1. ∴a＋b＝(＋)(a＋b)＝＋＋≥＋2 ＝1. 当且仅当a＝b＝时取等号． 3．若将条件改为a＋2b＝3，求＋的最小值． 解 ∵a＋2b＝3， ∴a＋b＝1， ∴＋＝(＋)(a＋b)＝＋＋＋ ≥1＋2 ＝1＋. 当且仅当a＝b时，取等号． 【同步练习】 (1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是_____． (2)已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝()y，若＋(m>0)的最小值为3，则m＝_____. 答案 (1)5 (2)4 解析 (1)方法一 由x＋3y＝5xy，可得＋＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y)(＋) ＝＋＋＋≥＋＝5. 当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立， ∴3x＋4y的最小值是5. 方法二 由x＋3y＝5xy，得x＝， ∵x>0，y>0，∴y>， ∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y ＝＋·＋4(y－) ≥＋2＝5， 当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5. (2)由2x－3＝()y得x＋y＝3， ＋＝(x＋y)(＋) ＝(1＋m＋＋) ≥(1＋m＋2) (当且仅当＝，即y＝x时取等号)， ∴(1＋m＋2)＝3， 解得m＝4. 题型二 基本不等式的实际应用 例3 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是_____万元． 答案 8 解析 年平均利润为＝－x－＋18 ＝－(x＋)＋18， ∵x＋≥2 ＝10， ∴＝18－(x＋)≤18－10＝8， 当且仅当x＝即x＝5时，取等号． 【同步练习】 ... ...
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