9.1直线的方程-教师版 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × ) (4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × ) (6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( √ ) 无 题型一 直线的倾斜角与斜率 例1 (1)已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“α>”是“k>”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 ． 答案 (1)B (2)(－∞，－]∪[1，＋∞) 解析 (1)当<α<π时，k<0； 当k>时，<α<. 所以“α>”是“k>”的必要不充分条件，故选B. (2)如图， ∵kAP＝＝1， kBP＝＝－， ∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)． 引申探究 1．若将题(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围． 解 ∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)， ∴kAP＝＝， kBP＝＝. 如图可知，直线l斜率的取值范围为. 2．若将题(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围． 解 如图，直线PA的倾斜角为45°， 直线PB的倾斜角为135°， 由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)． 思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)． 已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为( ) A．150° B．135° C．120° D．不存在 答案 A 解析 由y＝得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图象如图所示． 显然直线l的斜率存在， 设过点P(2,0)的直线l为y＝k(x－2)，则圆心到此直线的距离d＝， 弦长|AB|＝2 ＝2， 所以S△AOB＝××2 ≤＝1， 当且仅当(2k)2＝2－2k2，即k2＝时等号成立， 由图可得k＝－(k＝舍去)，故直线l的倾斜角为150°. 题型二 求直线的方程 例2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为； (2)直线过点(5,10)，到原点的距离为5； (3)过点A(－5，－4)作直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5，求直线l的方程． 解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝(0<α<π)， 从而cos α＝±，则k＝tan α＝±. 故所求直线方程为y＝±(x＋4)． 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0. (2)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0； 当斜率存在时，设其为k， 则所求直线方程为y－10＝k(x－5)， 即kx－y＋(10－5k)＝0. 由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝. 故所求直线方程为3x－4y＋25＝0. 综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0. (3)由已知，l的两截距不为0， 设l的方程为＋＝1， 则解得或 ∴直线l的方程为－＝1或＋＝1， 即2x－5y－10＝0或8x－5y＋20＝0. 思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况． 求适合下列条件的直线方程： ( ... ...
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