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课件网) 第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 6.2.3 向量的数乘运算 课标要求 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义. 2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义. 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？这就是我们今天要学到的数乘运算. 引入 课时精练 一、向量的数乘运算 二、向量的线性运算 三、用已知向量表示其他向量 课堂达标 内容索引 四、向量共线定理 向量的数乘运算 一 探究1 如图，已知非零向量a做出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).它们的长度和方向是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别怎样？ 显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍. 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个_____，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝_____. ②当λ>0时，λa的方向与a的方向_____； 当λ<0时，λa的方向与a的方向_____； 当λ＝0时，λa＝____. 知识梳理 向量 |λ||a| 相同 相反 0 温馨提示 (1)数乘向量仍是向量；(2)实数λ与向量a不能相加减. 例1 √ (多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各说法中，正确的是 A.当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反 B.当λ＝0时，λa与a是共线向量 C.|λa|＝λ|a| D.当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同 √ √ 根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确； 对于B，当λ＝0时，λa＝0，0与a是共线向量，故B正确； 对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa都与a同向，或者都与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确； 对于C，|λa|＝|λ||a|，C错误. λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模. 思维升华 (多选)已知a，b是两个非零向量，则下列说法中正确的是 A.－2a与a是共线向量，且－2a的模是a的模的两倍 训练1 √ C.－2a与2a是一对相反向量 D.a－b与－(b－a)是一对相反向量 √ √ A中，∵－2<0， ∴－2a与a方向相反，两向量共线， 且|－2a|＝2|a|，∴A正确； B中，∵3>0， ∴3a与a方向相同，且|3a|＝3|a|； ∵5>0，∴5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|， ∴B正确； C中，按照相反向量的定义可以判断正确； D中，∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b， ∴a－b与－(b－a)为相等向量. ∴D不正确. 向量的线性运算 二 探究2 实数的乘法满足哪些运算律？ 提示 ab＝ba(交换律)，(ab)c＝a(bc)(结合律)，a(b＋c)＝ab＋ac(分配律). 知识梳理 1.数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝_____； (2)(λ＋μ)a＝_____； (3)λ(a＋b)＝_____. 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)， λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的_____运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝_____. (λμ)a λa＋μa λa＋λb 加、减、数乘 λμ1a±λμ2b 例2 原式＝6a－4b－2a＋3b＝4a－b. 4a－b 思维升华 1.向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段. 2.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算. 训练2 √ A.2a－b B.2b－a C.b－a D.a－b (2)已知向量a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，则x＝_____. 0 由题设得2x ... ...
