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课件网) 6.3.1 平面向量基本定理 第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 课标要求 1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量. 音乐是人们休闲时候的一种选择，不管是流行歌曲的通俗，摇滚歌曲的动感，还是古典音乐的高雅，它们都给了不同的人不同的享受、不一样的音乐、不一样的感觉.事实上，音乐有7个基本音符：Do Re Mi Fa Sol La Si，所有的乐谱都只是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此.在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？ 引入 课时精练 一、平面向量基本定理 二、用基底表示向量 三、平面向量基本定理的应用 课堂达标 内容索引 平面向量基本定理 一 探究1 如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量.请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量. 探究2 上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？ 提示 分解方法唯一.事实上，若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2， 则λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2， 即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2. 因为e1与e2不共线，所以λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0， 所以λ1＝μ1，λ2＝μ2. 平面向量基本定理 知识梳理 条件 e1，e2是同一平面内的两个_____ 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝_____ 基底 若e1，e2_____，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 不共线向量 λ1e1＋λ2e2 不共线 温馨提示 (1)同一平面内的基底有无数个，只要两向量不共线即可. (2)当基底确定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的. 例1 √ (1)若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是 选项A，B，C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底. √ (2)(多选)如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么在下列叙述中正确的有 A.λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B.对于平面内的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对 C.若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数m，使λ1e1＋μ1e2＝m(λ2e1＋μ2e2) D.若存在实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 √ 由平面向量基本定理可知，A，D正确. 对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的； 对于C，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，m有无数个. 1.判断两个向量能否构成基底，主要是看二者是否共线. 2.对平面向量基本定理应注意：(1)e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；(2)该平面内任意一个向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；(3)基底是不唯一的. 思维升华 (多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，则下列向量可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是 训练1 √ √ 由平面内向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故AC满足题意. 用基底表示向量 二 例2 思维升华 训练2 a＋b 2a＋c 平面向量基本定理的应用 三 例3 因为点E是BD的中点， 思维升华 1.平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的. 2.平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决. 训练3 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值. ∵A，P，M和B，P，N分别共线， 由平面向量基本定 ... ...
