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课件网) 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 课标要求 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐标运算判断向量垂直. 同学们，前面我们学面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”来描述向量的加、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标来表示两向量的数量积呢？ 引入 课时精练 一、平面向量数量积的坐标表示 二、平面向量模(长度)的坐标表示 三、平面向量夹角与垂直的坐标表示 课堂达标 内容索引 平面向量数量积的坐标表示 一 探究1 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ 提示 i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0. ∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， ∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j) ＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2. 又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0， ∴a·b＝x1x2＋y1y2. 向量数量积的坐标表示 (1)语言表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)坐标表示：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝_____. 知识梳理 x1x2＋y1y2 例1 √ (1)(链接教材P36练习T2)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝A.10 B.－10 C.3 D.－3 a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)， 所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. 建立平面直角坐标系如图所示， 则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)， 进行向量数量积的坐标运算的注意点 (1)要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a|2＝a·a； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. (2)在解决平面几何中的数量积的运算时，对于规则的图形，一定要学会建立恰当的平面直角坐标系，用向量的坐标法解决平面几何中的数量积的问题. 思维升华 (1)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于 A.6 B.5 C.4 D.3 训练1 √ 由题意可得，8a－b＝(6，3)， 又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)， ∴18＋3x＝30，解得x＝4. √ (2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则(2a＋b)·c＝ 以a，b的公共起点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示： 则a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)， 所以2a＋b＝(6，1)，(2a＋b)·c＝1. 平面向量模(长度)的坐标表示 二 知识梳理 x2＋y2 例2 √ 思维升华 训练2 √ √ 由向量a＝(1，0)，b＝(cos θ，sin θ)， 可得|a|＝1，|b|＝1，a·b＝cos θ， 故选项BC符合题意. 平面向量夹角与垂直的坐标表示 三 探究3 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，如何用坐标表示两非零向量垂直的充要条件？ 提示 a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2＝0. 知识梳理 x1x2＋y1y2＝0 温馨提示 不要混淆两向量垂直与两向量平行的坐标表示. 例3 已知点A(2，－1)，B(3，1)，C(1，－2). 因为点A(2，－1)，B(3，1)，C(1，－2)， 思维升华 训练3 (1)已知向量a＝(1，2)，b＝(4，k)，若a与b垂直，则a与a＋b夹角的余弦值为 √ 因为a与b垂直， 所以a·b＝1×4＋2k＝0，解得k＝－2， 则b＝(4，－2)，a＋b＝(5，0)， 设a与a＋b夹角为θ， (2)(链接教材P36T10)已知向量a＝(m，－1)，b＝(－2，－m＋1).若a⊥(a＋b)， 则m＝_____. 0或1 由a＝(m，－1)，b＝(－2，－m＋1)， 得a＋b＝(m－2，－m). 因为a⊥(a＋b)，所以a·(a＋b)＝m(m ... ...
