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课件网) 培优课 平面向量中的最值、范围问题 第六章 平面向量及其应用 课标要求 1.进一步掌握平面向量线性运算和数量积的计算方法. 2.掌握平面向量中最值范围问题的解决方法. 课时精练 一、向量线性运算中的最值、范围 二、向量数量积的最值、范围 三、向量模的最值、范围 课堂达标 内容索引 四、向量夹角的最值、范围 向量线性运算中的最值、范围 一 例1 因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1， 由P，B，C三点共线得， 利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后用基本不等式求最值. 思维升华 训练1 (－1，0) 又因为C，O，D三点共线， 向量数量积的最值、范围 二 例2 √ 以BC的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 思维升华 解决向量数量积的最值问题，一般是把该数量积转化为关于某一自变量的函数，根据函数的性质以及满足题目条件的自变量的范围，确定函数的值域，从而得到结论. 训练2 (－1，3) 又cos∠BCD∈(－1，1)，所以1－1×2cos∠BCD＝1－2cos∠BCD∈(－1，3). 向量模的最值、范围 三 例3 已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则|a－λb|的最小值是 √ 依题意，建立如图所示的坐标系， 则a＝(2，1)，b＝(2，－1)， a－λb＝(2－2λ，1＋λ)， 思维升华 求向量模的最值(或范围)的方法 利用平面向量数量积的概念和性质，建构关于模长的函数模型，利用三角函数或二次函数求解模长的最值(或范围). 训练3 2 即a2＋|a|·|b|＋b2＝3， 变形为|a|·|b|＝(|a|＋|b|)2－3， 当且仅当|a|＝|b|时等号成立， 解得|a|＋|b|∈(0，2]. 向量夹角的最值、范围 四 例4 已知|a|＝1，向量b满足2|b－a|＝b·a，设a与b的夹角为θ，则cos θ的最小值为_____. ∵|a|＝1，∴设a＝(1，0)，b＝(x，y)， ∴b－a＝(x－1，y)， 则x>0， ∴4(x－1)2＋4y2＝x2， 思维升华 将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小问题，利用函数求最值或范围. 训练4 √ 因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0， 即a·b＝b2， 【课堂达标】 √ √ A.[2，4] B.[2，3] C.[3，4] D.[1，4] 以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则D(0，1)，E(1，0). 设F(2，m)(0≤m≤1)， ∵0≤m≤1，∴2≤3－m≤3， A.3 B.4 C.5 D.9 √ 由图可知x，y均为正，且x＋y＝1， 4.已知平面向量a，b，c满足a·b＝b·c＝c·a＝－1，|a|＝1，|b|≥2，若c＝xa＋yb，x，y∈R，则x＋y的取值范围是_____. 设a＝(1，0)，由a·b＝c·a＝－1， 可设b＝(－1，m)，c＝(－1，n)， 因为|b|2＝1＋m2≥4 m2≥3， 又c＝xa＋yb＝(x－y，my)＝(－1，n)， 而b·c＝1＋mn＝－1 mn＝－2， 【课时精练】 √ √ ∴(1－λ，λ)·(－1，1)≥(λ，－λ)·(λ－1，1－λ)， ∴2λ2－4λ＋1≤0， 因为点P是线段AB上的一个动点， 所以0≤λ≤1， √ 由A，E，D三点共线可得x＋4y＝1，且x>0，y>0. √ √ 如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系. 设AM＝t，t∈[0，2]， ＝t2＋t＋4，在[0，2]上单调递增， 故λ＝t2＋t＋4∈[4，10]. 结合选项选CD. √ 因为点M是AC的中点， 因为点D是AC边上的一点(包括端点)， 9 根据题意，以C为坐标原点，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图， ∴A(0，3)，B(4，0)，C(0，0)， 当且仅当2b＝c时，等号成立. 将|a＋b|＝2两边平方并化简得(|a|＋|b|)2－|a||b|＝4， 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系. (1)求与a平行的单位向量c； (2)设x＝a＋(t2＋3)b，y＝－k·ta＋b，若存在t∈[0，2]，使得x⊥y成立，求k的取值范围. ∵x⊥y，∴x·y＝0， 即－kt|a|2＋(t2＋3)|b|2＝0. ∵|a|＝ ... ...
