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课件网) 习题课 平面向量数量积的综合应用 第六章 平面向量及其应用 课标要求 1.掌握平面向量线性运算与数量积运算. 2.会用数量积运算解决向量的模、夹角、垂直等问题. 课时精练 一、平面向量数量积的计算 二、平面向量数量积的应用 三、平面向量的数量积与三角函数的综合 课堂达标 内容索引 平面向量数量积的计算 一 例1 √ A.－15 B.－13 C.13 D.15 法一(基底法) ∵∠ABC＝90°，F为AB的中点，CB＝8，AB＝12， ∴FA＝FB＝6， 又CE＝3，∴FE＝CF－CE＝7， ＝6×6×(－1)＋7×7＝13. 法二(坐标法) 建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(12，0)，B(0，0)，C(0，8)，F(6，0). 平面向量数量积的运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ为非零向量a，b的夹角). (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)选择合适的基底，转化为基底去解决问题. 提醒 解决涉及几何图形的向量数量积的问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补. 思维升华 训练1 √ 连接MD(图略)， 因为在等腰Rt△ABC中，斜边AC＝2，M为AB的中点，D为AC的中点， 平面向量数量积的应用 二 例2 角度1 求模 1 以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系. 例3 角度2 求夹角 例4 角度3 垂直问题 √ 由|a＋b|＝k|a－b|两边平方并化简得 2＋2a·b＝k2(2－2a·b)， 思维升华 (1)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝ A.－6 B.－5 C.5 D.6 训练2 √ 由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)， 所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t， b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t. 因为〈a，c〉＝〈b，c〉， 所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉， √ √ |a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×(－1)＋4＝7≠1，即|a－b|≠1，故选项D错误. 平面向量的数量积与三角函数的综合 三 例5 思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识，得到三角函数的关系式，然后求解. (2)当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时，其解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求解. 训练3 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)求证：向量a＋b与a－b垂直； ∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)， ∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝1－1＝0， ∴向量a＋b与a－b垂直. (2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α的值(其中k为非零实数.) a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(β－α). ∵|ka＋b|＝|a－kb|， ∴|ka＋b|2＝|a－kb|2， 即k2a2＋2ka·b＋b2＝a2－2ka·b＋k2b2. 即k2＋2ka·b＋1＝1－2ka·b＋k2， 整理得a·b＝cos(β－α)＝0. ∵0<β<α<π，则0<α<π，0<β<π， 【课堂达标】 1.已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝ A.2 B.3 C.4 D.5 √ 由题意知a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)， √ 2.(多选)已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则下列结论中正确的是 √ √ a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，A正确； 3×(－2)≠(－1)×1，D错误. A.－6 B.6 C.－8 D.8 √ 因为在△ABC中，点M是边BC的中点， 4.已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1).若a⊥b，则m＝_____. ∵a⊥b， ∴a·b＝m＋3(m＋1)＝4m＋3＝0， 【课时精练】 √ 1.向量a＝(1，1)，b＝(－1，0)，则a与b的夹角为 √ 2.已知向量a＝(2，1)，b＝(4，3)，c＝(1，－1)，若(λa＋b)⊥c，则λ＝ 由题意得 ... ...
