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课件网) 6.4.1 平面几何中的向量方法 第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用 课标要求 1.能用向量方法解决简单的几何问题. 2.体会向量在解决数学问题中的 作用. 向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量是几何研究的一个有效工具. 引入 课时精练 一、用向量解决平面几何中的平行问题 二、用向量解决平面几何中的垂直问题 三、用向量求线段的长度 课堂达标 内容索引 四、用向量求几何中的角度问题 用向量解决平面几何中的平行问题 一 例1 (链接教材P38例1)在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明： (1)DE∥BC； 如图，以E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系. ∵CE⊥AB，AD＝DC， ∴四边形AECD为正方形， ∴各点的坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0). ∵B，C，D三点不共线，∴DE∥BC. (2)D，M，B三点共线. 连接MB，MD. ∵MD与MB有公共点M， ∴D，M，B三点共线. 思维升华 如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H.求证：HG∥EF. 训练1 ∵点G不在直线EF上， ∴HG∥EF. 用向量解决平面几何中的垂直问题 二 例2 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 法二 如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)， ＝2－2＝0， 思维升华 利用向量解决垂直问题的方法和途径 方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0. 途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式. 如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC. 训练2 则a＝e＋c，b＝e＋d， 所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2， 由条件知a2＝c2－d2＋b2， 所以e·c＝e·d，即e·(c－d)＝0， 所以AD⊥BC. 用向量求线段的长度 三 例3 (链接教材P61T13(2))在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长. ＝1＋4＋2a·b＝6， 思维升华 训练3 在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边上的中线AD的长是 √ 用向量求几何中的角度问题 四 例4 (1)AD的长； (2)∠DAC的大小. 设∠DAC＝θ(0°<θ<120°)， ∴θ＝90°，即∠DAC＝90°. 思维升华 用向量法求角度的策略 (1)将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，再转化为实际问题中的角即可. (2)要注意，两向量的夹角和要求角的关系. 训练4 正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos∠DOE＝_____. 以O为原点，以OA，OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示. 【课堂达标】 A.是正三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形 D.形状无法确定 √ 则△ABC是等腰三角形. √ 2.已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为 A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 3.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos∠BDC等于 √ 如图，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则B(0，0)，A(0，8)，C(6，0)，D(3，4)， 1∶3 如图，设D为BC边的中点， 【课时精练】 √ A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 所以四边形ABCD是等腰梯形. √ ∴四边形ABCD的面积 √ ∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线. √ A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 ∴OB⊥AC. 同理可得OA⊥BC，OC⊥AB， ∴点O为△ABC的垂心. √ A.sin θ>0，cos θ>0 B.sin θ ... ...
