第二课时 正弦定理 课标要求 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数. 【引入】 在现代生活中，得益于科技的发展，距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成.不过，在这些工具没有出现之前，你知道人们是怎样间接获得两点间距离的吗？如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这三个量，求出AB的长吗？ 一、正弦定理及其推导 探究1 在Rt△ABC中，＝＝，在斜三角形中，上述关系是否成立？如何证明呢？ 探究2 在△ABC中，＝＝，那么这个比值有什么特殊的含义吗？ 【知识梳理】 1.正弦定理的表示 (1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径. (2)符号语言：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝_____＝_____＝2R(R为△ABC的外接圆的半径). 2.正弦定理的变形形式 设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形： (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝_____； (2)sin A＝，sin B＝_____，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)＝＝ ＝＝2R； (5)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A. 温馨提示 (1)在正弦定理中，各边与其对角的正弦严格对应，体现了数学中的对称美. (2)正弦定理是直角三角形对角关系的一个推广，正弦定理对任意三角形都成立，它的主要功能是实现三角形中边角关系的互化. 二、已知两角及任意边解三角形 例1 (链接教材P47例7)在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形. 思维升华 1.正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. 2.因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角. 训练1 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝，C＝，a＝5，则此三角形的最大边长为( ) A.3 B.5 C. D. 三、已知两边及其中一边的对角解三角形 例2 (链接教材P47例8)在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形. 迁移 若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？ ... ...
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