2.1.3 基本不等式的应用 课程标准 学习目标 （1）掌握基本不等式 + 2 ( , 0) 。结 （1）会利用基本不等式求积的最大值; 合具体实例, 能用基本不等式解决简单的最大 （2）会利用解决生活中的最值问题.（难点) 值或最小值问题。 知识点 01 积定求和，和定求积 已知 ， 是正数，则 （1）如果积 是定值 ，那么当且仅当 = 时，和 + 有最小值2 ； 2 （2）如果积 + 是定值 ，那么当且仅当 = 时，积 有最大值 4。 【即学即练 1】 若 > 0， > 0，且 + 4 = 1，则 的最大值是（ ） A 1 1 1 1．32 B．16 C．4 D．2 【答案】B 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 1 【详解】由于1 = + 4 ≥ 4 ，则 ≤ 16， 当且仅当 = 4 = 12时等号成立. 故选：B 知识点 02 基本不等式在实际问题的应用 在基本不等式在实际问题中，首先要理解题意，找到各个变量之间的关系，再利用基本不等式进行求解， 其中要注意变量在实际中的取值范围. 【即学即练 2】 小王准备用18m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，小王需要合理安排矩形的长 宽才能使 菜园的面积最大，则菜园面积的最大值为（ ） A 81． 2 m 2 B．40m2 C．36m2 D．32m2 【答案】A 【分析】由基本不等式的应用即可求解. 【详解】设矩形菜园中平行于墙的边长度为 m，垂直于墙的边长度为 m，菜园面积 = ， 则 + 2 = 18, ∴ + 2 ≥ 2 2 , ∴ ≤ 81 2 ，当且仅当 = 2 = 9时取等号. 故选：A. 【题型一：基本不等式求积的最大值】 例 1．已知正数 x，y 满足 + = 2，则 2 + 2 ― 的取值范围是（ ） A．[1,4] B．[0,4] C．[1,4) D．[1,3) 【答案】C 【分析】根据基本不等式可得0 < ≤ 1，结合完全平方公式计算即可求解. 2 【详解】因为0 < ≤ ( + )4 = 1，即0 < ≤ 1， 当且仅当 = = 1时等号成立， 所以 2 + 2 ― = ( + )2 ―3 = 4 ― 3 ∈ [1,4)． 故选：C． 4 变式 1-1．已知 > 0, > 0 3，且满足 + = 1，则（ ） A 1． 的最小值为 48 B． 的最小值为48 C． 的最大值为 48 D． 1的最大值为48 【答案】A 【分析】对给定式子合理变形，再利用基本不等式求解即可. 2 16 24 【详解】由题意得 = ( 3 + 4 ) ，所以 = ( 9 2 + 2 + )， 16 所以 = 9 + +24 ≥ 2 9 × 16 +24 = 48， 9 16 当且仅当 = 时取等，此时 = 6, = 8，故 A 正确. 故选：A 变式 1-2．已知 > 0, > 0，且 + 2 = 4，则 2 +4 2（ ） A 80．有最小值 8 B．有最小值 9 C 80．有最大值 8 D．有最大值 9 【答案】A 【分析】根据基本不等式可得 ≤ 2，即可由不等式的性质求解. 【详解】由 + 2 = 4可得 2 +4 2 +4 = 16，所以 2 +4 2 = 16 ― 4 ， 由于 > 0, > 0，且 + 2 = 4，则 + 2 ≥ 2 2 ，故 ≤ 2，当且仅当 = 2 = 2时取等号， 故 2 +4 2 = 16 ― 4 ≥ 16 ― 8 = 8，因此 2 +4 2有最小值 8， 故选：A 变式 1-3．已知10 > > 0，则2 ― (10 ― )的最小值为（ ） A． ―3 B． ―2 C． ―1 D．0 【答案】A 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】因为10 > > 0，故 + (10 ― ) ≥ 2 (10 ― )，即 (10 ― ) ≤ 5， 当且仅当 = 5时，等号成立，所以2 ― (10 ― ) ≥ 2 ― 5 = ―3. 故选：A. 变式 1-4．正数 , 满足 + = 5，则 + 1 + + 2的最大值为（ ） A．8 B．3 C．2 2 D．4 【答案】D 【分析】将 + 1 + + 2平方，再结合基本不等式的求解即可. 2 【详解】解：因为( + 1 + + 2) = + + 3 + 2 + 1 + 2 = 8 + 2 + 1 + 2 2 2 ≤ 8 + ( + 1) + ( + 2) = 8 + + + 3 = 16 当 + 1 = + 2，即 = 3, = 2时，等号成立， 又因为 + 1 + + 2 > 0， 所以 + 1 + + 2 ≤ 4， = 3, = 2时，等号成立. 故选：D. 【方法技巧与总结】 1 已知 ， 是正数，则 （1）如果积 是定值 ，那么当且仅当 = 时，和 + 有最小值2 ； 2 （2）如果积 + 是定值 ，那么当且仅当 = 时 ... ...
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