3.1.2表示函数的方法（3知识点+4题型+强化训练）（含答案） 2024-2025学年高一数学上学期必修第一册同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教A版2019）

3.1.2 表示函数的方法 课程标准 学习目标 （1）在实际情境中, 会根据不同的需要选择恰 （1）会求函数的解析式; （难点) 当的方法（如图象法、列表法、解析法) 表示 （2）列表法表示函数 函数, 理解函数图象的作用。 （3）图象法表示函数。 知识点 01 解析法 把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式（也叫作函数表达式或函 数关系式），解析法就是用解析式来表示函数的方法。 比如正方形周长 与边长 间的解析式为 = 4 ，圆的面积 与半径 的解析式 = 2等. 求函数解析式的方法 ① 配凑法 ② 待定系数法 ③ 换元法 ④ 构造方程组法 ⑤ 代入法 【即学即练 1】 已知函数 ( ) = 1 ，则 ( + 1) = （ ） A = 1 1 2 2． ( + 1) +1 B． ( + 1) = ―1 C． ( + 1) = ―1 D． ( + 1) = +1 【答案】A 【分析】根据已知函数解析式，直接代入即可. 1 【详解】依题意 ( + 1) = +1． 故选：A. 知识点 02 列表法 如上表，我们很容易看到 与 之间的函数关系. 在初中刚学画一次函数时，想了解其图像是一直线，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数. 【即学即练 2】 函数 ( )与 ( )的对应关系如下表． ―1 0 1 1 2 3 ( ) 1 3 2 ( ) 0 ―1 1 则 ( ( ― 1))的值为（ ） A．0 B．3 C．1 D． ―1 【答案】A 【分析】根据图表代入对应的值，即可得到答案. 【详解】根据表格， ( ―1) = 1， (1) = 0， 故选：A. 知识点 03 图象法 如上图，很清晰的看到某天空气质量指数 与时间 两个变量之间的关系，特别是其趋势. 数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要. 【即学即练 3】 购买某种饮料 听，所需钱数是 元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将 表示成 ( ∈ {1,2,3,4}) 的函数． 解析 解析法 = 2 , ∈ {1,2,3,4}． 列表法 1 2 3 4 2 4 6 8 图象法 【题型一：解析法表示函数】 例 1．若函数 = ( )对任意 ∈ R，均有 ( + ) = ( ) + ( )，则下列函数可以为 = ( )解析式的是 （ ） A． ( ) = + 1 B． ( ) = 2 ― 1 C． ( ) = 2 D． ( ) = 2 + 【答案】C 【分析】根据 ( + ) = ( ) + ( )，即可结合选项逐一代入验证，即可求解. 【详解】对于 A, ( + ) = + +1， ( ) + ( ) = + 1 + +1，故 ( + ) ≠ ( ) + ( )，故 A 错误， 对于 B， ( + ) = 2( + ) ―1 = 2 + 2 ― 1， ( ) + ( ) = 2 ― 1 + 2 ― 1 = 2 + 2 ― 2，故 ( + ) ≠ ( ) + ( )，故 B 错误， 对于 C, ( + ) = 2( + ) = 2 + 2 ， ( ) + ( ) = 2 + 2 故 ( + ) = ( ) + ( )，故 C 正确， 对于 D, ( + ) = ( + )2 + ( + ) = 2 + 2 +2 + + ， ( ) + ( ) = 2 + + 2 + 故 ( + ) ≠ ( ) + ( )，故 D 错误， 故选：C 变式 1-1．一个等腰三角形的周长为 20，底边长 是一腰长 的函数，则（ ） A． = 10 ― (0 < ≤ 10) B． = 10 ― (0 < < 10) C． = 20 ― 2 (5 ≤ ≤ 10) D． = 20 ― 2 (5 < < 10) 【答案】D 【分析】结合等腰三角形性质可得2 + = 20，变形得 关于 表达式，再结合三角形三边性质确定自变量 范围即可. 【详解】∵2 + = 20，∴ = 20 ― 2 . 20 ― 2 > 0, 由题意得 + > 20 ― 2 , 解得5 < < 10. > 0, ∴ = 20 ― 2 (5 < < 10). 故选：D. 变式 1-2．下列函数中，对任意 ，不满足2 ( ) = (2 )的是（ ） A． ( ) = | | B． ( ) = ―2 C． ( ) = ― | | D． ( ) = ― 1 【答案】D 【分析】结合各选项的解析式计算 (2 )、判断是否与2 ( )相同即可. 【详解】对于 A： ( ) = | |，则 (2 ) = |2 | = 2| | = 2 ( )，故 A 正确； 对于 B： ( ) = ―2 ，则 (2 ) = ―4 = 2( ―2 ) = 2 ( )，故 B 正确； 对于 C： ( ) = ― | |，则 (2 ) = 2 ― |2 | = 2( ― | |) = 2 ( )，故 C 正确； 对于 D： ( ) = ― 1，则 ... ...