4.1.3 幂函数 课程标准 学习目标 （1）通过具体实例, 结合 = , = 1 , = 2, （1）掌握幂函数的定义; = , = 3 的图象 , 理解它们的变化规律 , （2）掌握幂函数的图象及其性质； 了解幂函数。 （3） 掌握幂函数性质的应用.（难点) 知识点 01 幂函数的定义 一般地，形如 = 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 为常数． 注 (1)注意幂函数中 的系数是1，底数是变量 ，指数 是常数； 【即学即练 1】 下列是幂函数的是 ( ) A. = 2 B. = 3 4 C. = 2 D. = ( ― 1)3 知识点 02 幂函数图像及其性质 1 (1) 幂函数 = , = 2, = 3, = 2, = ―1的图象． 1 (2) 幂函数 = , = 2, = 3, = 2, = ―1的性质 = = 2 = 3 1 = 2 = ―1 图象 X|X|K] 定义域 [0, + ∞) ≠ 0 值域 [0, + ∞) [0, + ∞) ≠ 0 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 在( ― ∞,0]上递减 在[0, + ∞) 在( ― ∞,0)上递减 单调性 在 上递增 在 上递增 在(0, + ∞)上递增 上递增 在(0, + ∞)上递减 特殊点 (1,1),(0 ,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1 ) (3)性质 ① 所有的幂函数在(0 , + ∞ )都有定义，并且图象都过点(1 , 1)； ② > 0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0 , + ∞ )上是增函数． 特别地，当 > 1时，幂函数变化快，图象下凹；当0 < < 1时，幂函数变化慢，图象上凸. 1 Eg = 2图象上凸， = 2图象下凹，在[0 , + ∞ )上是增函数． ③ < 0时，幂函数的图象在(0 , + ∞ )上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右 方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 +∞时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴． Eg = ―1 = 1 ， 【即学即练 2】 已知幂函数 = 3( ∈ )的图象关于 y 轴对称，如图所示，则（ ） A．p 为奇数，且 > 0 B．p 为奇数，且 < 0 C．p 为偶数，且 > 0 D．p 为偶数，且 < 0 【题型一：判断函数是否是幂函数】 例 1．现有下列函数：① = 3；② = 4 2；③ = 5 +1；④ = ( ― 1)2；⑤ = ，其中幂函数的个 数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 变式 1-1．下列函数是幂函数的是（ ） A． = 2 B． = 2 ― 1 C． = ( + 1)2 D． = 3 2 变式 1-2．下列函数中， = 1 3， = 2 + 1， = 3 + ， = 4 5是幂函数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【方法技巧与总结】 1 幂函数的概念：一般地，形如 = 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 为常数． 2 注意幂函数中 的系数是1，底数是变量 ，指数 是常数. 【题型二：求幂函数的值】 例 2．已知幂函数 ( ) = ( + 2) 的图象经过点(4,2)，则 ― = （ ） 5 3 A． ―3 B． ― 2 C． ―2 D． ― 2 1 变式 2-1．已知幂函数 = ( )的图象经过点 4, ，则 (2)等于（ ） 4 1 A．2 B．2 C． 2 D． 2 2 2 变式 2-2．已知幂函数 ( ) = ( ― 1) ―1，则 ( ―1) = （ ） A． ―1 B．1 C． ―2 D．2 变式 2-3．若幂函数 ( ) = 的图象过点(2,8)，则 ( ) = ― + ― 1的值域为（ ） A． ―∞, 9 B．[2, + ∞) C 9． , + ∞ D．( ―∞,2] 4 4 【方法技巧与总结】 1 求幂函数的解析式，可利用待定系数法； 2 已给幂函数解析式形式求参数，注意幂函数的系数为1. 【题型三：幂函数的定义域】 例 3 2．已知幂函数 ( ) = ― +2 的定义域为 ，且 ∈ ，则 的值为（ ） A． ―1 B．0 C．1 D．2 变式 3-1．下列幂函数中，定义域为(0, + ∞)的是（ ） 2 3 2 3 A． = 3 B． = C = ―2 ． 3 D． = ―2 变式 3-2．幂函数 ( )图象过点 2, 2 ，则 = ( ) + (2 ― | |)的定义域为（ ） 2 A．(0,2) B．(0,2] C．[0,2] D．( ― 2,2) 【方法技巧与总结】 1 1 掌握常见幂函数 = , = 2, = 3, = 2, = ―1的图象与性质； 2 求非常见幂函数的定义域，常把幂函数的解析式中幂的形式化为根式的形式更好理解； m 3 所有的幂函数在(0 , + ∞ )都有定义 ... ...
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