4.2 指数函数 课程标准 学习目标 （1）通过具体实例, 了解指数函数的实际意义, （1）理解指数函数的定义; 理解指数函数的概念; （2）了解指数爆炸和指数衰减； （2）能用描点法或借助计算工具画出具体指数 （3） 掌握指数函数的图象与性质； 函数的图象, 探索并理解指数函数的单调性与 （4）掌握指数函数图象与性质的应用.（难点) 特殊点。 知识点 01 指数函数的概念 （1）概念 一般地，函数 = ( > 0且 ≠ 1)叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域为 . 解释 (1)指数函数 = ( > 0且 ≠ 1)中系数为1，底数是不为1的正实数的常数，指数是变量x.注意与幂函数的 区别，如y = 2 是指数函数，y = x3是幂函数. (2)指数函数中为什么要限制 > 0且 ≠ 1呢？ ① 若a < 0 1 1，则对于x的某些值a 无意义，如( ―2) ，此时x取 、2 4…等没意义；其函数图象没明显特点； ② 若a = 0或a = 1时，函数没研究价值. （2）指数爆炸和指数增长 ①当底数a > 1时，指数函数的值岁自变量的增长而增大，底数较大时指数函数的值增长速度惊人，被称为 指数爆炸； + ② 指数函数 = ( > 0且 ≠ 1) a ―a在长为T的周期区间[ , + ]中函数值增长a + ― a ，增长率为 a = ―1，它是个常量，我们称之为指数式增长，也称指数增长。 （3）指数衰减 当底数a满足0 < < 1时，指数函数值岁自变量的增长而缩小以至无限接近于0，这叫做指数衰减. 指数衰减的特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量. 【即学即练 1】 若指数函数 ( )的图象过点(3,8)，则 ( )的解析式为（ ） 1 A． ( ) = B． ( ) = 3 C． ( ) = 2 D． ( ) = 12 【答案】C 【分析】设出解析式，用待定系数法可得结果. 【详解】设 ( ) = > 0且 ≠ 1 ，因 ( )的图象过点(3,8)， 则 3 = 8，得 = 2，所以 ( ) = 2 ， 故选：C. 知识点 02 指数函数的图象与性质 函数名称 指数函数 定义 函数 = ( > 0且 ≠ 1)叫做指数函数 > 1 0 < < 1 图象 定义域 值域 (0, + ∞) 过定点 图象过定点(0,1)，即当 = 0时， = 1． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 上是增函数 在 上是减函数 变化对图 在第一象限内， 越大图象越高；在第二象限内， 越大图象越低． 象的影响 【即学即练 2】 已知 ( ) = 2, ( ) = ( 1 ) ― ， 若对 1 ∈ [ ―1,3]， 2 ∈ [0,2]， ( 1) ≥ ( 2 2)，则实数 的取值范围是 （ ） [1A． 4, + ∞) 35 B．[ ― 4 , + ∞) C．[1, + ∞) D．[ ― 8, + ∞) 【答案】A 1 2 【分析】根据函数最值的性质得出 ( )min ≥ ( )min，求出 ( )min = (0) = 0, ( )min = ― 2 ，得出实 数 的取值范围. 【详解】解：因为 1 ∈ [ ― 1,3], 2 ∈ [0,2]，使得 ( 1) ≥ ( 2)，所以 ( )min ≥ ( )min 2 因为 ( )min = (0) = 0, ( ) = 1 ― 1 1min 2 ，所以0 ≥ 4 ― ,解得 ≥ 4， 故选：A 【题型一：指数函数的判定与求值】 例 1． 已知函数 ( )为指数函数， ( )为幂函数，若 ( ) = ( ) + ( )，且 (1) = 3，则 ( ―1) = ． 1 【答案】2/0.5 【分析】设出函数解析式，利用待定系数法求出 ( ) = 2 ，直接代入求解. 【详解】因为 ( )为指数函数， ( )为幂函数， 所以可设 ( ) = （ > 0，且 ≠ 1）， ( ) = （ 是常数）. ∵ ( ) = ( ) + ( )， (1) = 3， ∴ 1 + 1 = 3，∴ = 2， ∴ ( ) = 2 ， ∴ 1( ―1) = 2―1 = 2． 1 故答案为：2. 变式 1-1．若指数函数 f(x)的图象经过点(2，9)，则 f(－1)＝ . 1 【答案】3 【分析】设幂函数的解析式为 f(x)＝ax，根据函数过点(2，9)，求出 ，进而可求出结果. 【详解】设 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)，将点(2，9)代入，得 a2＝9，解得 a＝3 或 a＝－3(舍去). 所以 f(x)＝3x. 所以 f(－1)＝3－1 1＝3. 1 故答案为：3 变式 1-2．已知指数函数 ( )图象过点(3,27)，则 (2)等于（ ） A．3 B．6 ... ...
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