4.4.1 方程的根与函数的零点 课程标准 学习目标 （1）理解函数零点的概念; （1）结合学过的函数图象, 了解函数零点与方 （2）掌握函数零点存在性定理.； 程解的关系。 （3）掌握函数与方程思想（难点) 知识点 01 函数的零点 对于函数 = ( )，使 ( ) = 0的实数 叫做函数的零点. 注 零点是个数，不是个点. 【即学即练 1】 函数 = 3 2 + ― 2的零点为（ ） 2 2 1 1 A．1， ― 3 B． ―1，3 C．2， ― 3 D． ―2，3 【答案】B 【分析】解一元二次方程，利用方程根与零点的关系即可求解. 【详解】令 = 0，即3 2 + ― 2 = (3 ― 2)( + 1) = 0 2，解得： 1 = 3， 2 = ―1， 所以函数 = 3 2 + ― 2 2的零点为 ―1和3. 故选：B 知识点 02 方程根与函数零点的关系 1 方程根与函数零点的关系 方程 ( ) = 0 有实数根 0 函数 = ( )有零点 0 函数 = ( )的图象与 轴有交点，且交点横坐标为 0. 如 方程2 ―4 = 0的实数根是 = 2， 函数 ( ) = 2 ―4与 轴的交点横坐标是2， 函数 ( ) = 2 ―4的零点是2，而不是(2 , 0). 2 拓展 方程 ( ) = ( )有实数根 0 函数 = ( )与函数 = ( )有交点，且交点横坐标为 0. 【例】 研究方程 2 ― 2 = 0的解. 解 方程 2 ― 2 = 0的实数根 函数 ( ) = 2与函数 ( ) = 2 的交点横坐标， 如图较容易得到，方程 2 ― 2 = 0实数根有3个 1 ∈ ( ―1 , 0) , 2 = 2 , 3 = 4. 3 求函数零点方法 ① (代数法) 求方程 ( ) = 0的实数根. ② (几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置. 【即学即练 2】 + 2 , ≤ 1 已知函数 ( ) = ― + 4, > 1 ，若方程 ( ) = 有两个不同的实数根，则 的取值范围为（ ） A．( ―∞,1) B．( ―∞,3) C．(1,3) D．(3, + ∞) 【答案】B 【分析】结合函数的单调性画出 ( )的大致图象，由此求得 的取值范围. 【详解】由函数的解析式可知，当 ≤ 1时， ( )单调递增， ( ) ≤ 3；当 > 1时， ( )单调递减， ( ) < 3. 函数 ( )的大致图象如下，故 ( )的最大值为 (1) = 3，结合图象可得 < 3. 故选：B 知识点 03 函数零点存在定理 如果函数 = ( )在[ , ]上的图象是连续不断的，且 ( ) ( ) < 0，那么函数 = ( )在( , )至少有一个零 点 ，即存在 ∈ ( , )，使得 ( ) = 0，这个 也就是方程 ( ) = 0的解. 【即学即练 3】 研究函数 ( ) = 3 + 2 ―1在(0,1)上的零点个数. 解 ∵ = ( )是连续函数，且 (0) (1) = ―1 × 1 = ―1 < 0， ∴ 由函数零点存在定理可得， = ( )在(0,1)上至少存在一个零点， 而函数 = ( ) 在(0,1)又是增函数， 故函数 ( ) = 3 + 2 ―1在(0,1)上只有一个零点. 【题型一：求函数的零点】 例 1．函数 = 4 ― 2 +3 +16的零点是（ ） A．0 B．1 C．2 D．(2,0) 【答案】C 【分析】令 = 0，求解方程即得. 【详解】由4 ― 2 +3 +16 = 0，设 = 2 ，则得 2 ―8 + 16 = 0， 解得 = 4，从而2 = 4，所以 = 2. 故选：C. 变式 1-1．下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ） A． = | | B． = 2 2 ―3 C． = 3 ― D． = 3 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性和零点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于选项 A， = | |是偶函数，与题意不符； 对于选项 B， = 2 2 ―3是偶函数，与题意不符； 对于选项 C， = 3 ― 是奇函数， 由 3 ― = ( 2 ― 1) = ( + 1)( ― 1) = 0， 解得 = ―1,0,1，故存在零点 ―1,0,1与题意相符； 3 对于选项 D， = 是奇函数，但不存在零点，与题意不符． 故选：C 变式 1-2．函数 ( ) = log3( ― 1) ―2的零点为（ ） A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0） 【答案】A 【分析】令 ( ) = 0，解对数方程，求出 x＝10. 【详解】令 ( ) = log3( ― 1) ―2 = 0，即log3( ― 1) = 2 = log332，所以 ― 1 = 32，因此 x＝10，所以函 数 ( ) = log3( ... ...
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