4.4.2 计算函数零点的二分法 课程标准 学习目标 （1）结合具体连续函数及其图象的特点, 了解 函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似 （1）理解二分法的概念; 解的思路并会画程序框图, 能借助计算工 （2）会用二分法求方程近似解.（难点) 具用二分法求方程近似解, 了解用二分法求方 程近似解具有一般性。 知识点 01 二分法的概念 对于在区间[ , ]上连续不断且 ( ) ( ) < 0的函数 = ( )，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使 区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 解释 求 ( ) = 2 ― ―2， ( ) = 2 ―1的零点很容易，因为我们会求其方程的解，而函数 ( ) = 3 + 2 ―1 或 ( ) = + ― 2的零点怎么求呢？我们求不出来会退而求其次，能否能知道零点的近似值呢？应该会想 到函数零点存在性定理，没错这它就是二分法的理论基础. 【即学即练 1】 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ） A． = 2 B． = ( ― 2)2 1C． = + ―3 D． = ln 【答案】B 【分析】依次判断各个选项中函数的零点及在零点左右两侧函数值是否异号即可. 【详解】对于 A， = 2 有唯一零点 = 0，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点； 对于 B， = ( ― 2)2有唯一零点 = 2，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点； 1 对于 C， = + ―3有两个不同零点 = 3± 5，且在每个零点左右两侧函数值异号，则可用二分法求零 2 点； 对于 D， = ln 有唯一零点 = 1，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点. 故选：B. 知识点 02 用二分法求方程近似解的步骤 (1) 确定区间[ , ]，验证 ( ) ( ) < 0，给定精确度 ； (2) 求区间( , )的中点 ; (3) 计算 ( )， ( ) 若 ( ) = 0 , 则 就是函数的零点； ( ) 若 ( ) ( ) < 0，则令 = (此时零点 0 ∈ ( , )) ( ) 若 ( ) ( ) < 0，则令 = (此时零点 0 ∈ ( , )) (4) 判断是否达到精确度 ：即若| ― | < ，则得到零点近似值为 (或 )；否则重复(2)~(4) 解释 （1）使用二分法的前提是函数在所选定的区间[ , ]上的图象是连续不断的，且 ( ) ( ) < 0； （2）所选的区间[ , ]的范围尽量小，且 ( ), ( )比较容易求; (3)利用二分法时，满足精确度便可停止计算. 【即学即练 2】 用二分法求函数 ( ) = 5 +7 ― 2的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 ( ) -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得 ( ) = 5 +7 ― 2的一个零点近似值（误差不超过 0.025）为（ ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 【答案】B 【分析】根据二分法的性质即可求解. 【详解】已知 (0.09375) < 0， (0.125) > 0，则函数 ( )的零点的初始区间为[0.09375，0.125]， 所以零点在区间[0.09375,0.125]上，|0.125 ― 0.09375| = 0.03125 < 0.025 × 2， 0.125+0.09375 所以 2 = 0.109375可以作为 ( )的一个零点近似值， 故选：B 【题型一：用二分法求近似解的条件】 例 1．下列方程中不能用二分法求近似解的为（ ） A．ln + = 0 B．e ―3 = 0 C． 3 ―3 + 1 = 0 D．4 2 ―4 5 + 5 = 0 【答案】D 【分析】利用二分法的定义一一判定即可. 【详解】根据二分法的要求，在( , )上，有 ( ) ( ) < 0才能用二分法， A ( ) = ln + 1对于 ，显然 在定义域上单调递增，且 = ―1 + 1 e < 0, (1) = 1 > 0，e 可以使用二分法，故 A 错误； 对于 B， ( ) = e ―3 在定义域上连续， 有 (0) = 1 > 0, (1) = e ―3 < 0, (2) = e2 ―6 > 0，可以使用二分法，故 B 错误； 对于 C， ( ) = 3 ―3 + 1在定义域上连续， 且有 ( ―2) = ―1 < 0, (0) = 1 > 0, (1) = ―1 < 0, (3) = 19 > 0， 可以使用二分法，故 C 错误； 2 对于 D，4 2 ―4 5 + 5 = 2 ― 5 = 0 = 5，2 且 ( ) ... ...
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