人教版九年级数学下名师点拨与训练第27章相似27.2.2 相似三角形的性质3

中小学教育资源及组卷应用平台 人教版九年级数学下名师点拨与训练 第27章 相似 27.2.2 相似三角形的性质 学习目标： 1 理解并掌握相似三角形的对应高、中线、角平分线的性质. 2 理解并掌握相似三角形的周长与面积的性质. 3 会用相似三角形的性质解决相关问题. 老师告诉你 应用相似三角形的性质前提条件是两个三角形相似，不满足前提条件，不能应用相似三角形性质，由相似比求面积必须要平方，反过来，由面积比求相似比必须要开平方， 一、知识点拨 知识点1 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 图一 由比例性质可得： 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【新知导学】 例1-1．如图为一把椅子的侧面示意图，已知地面，，，，则地面上两点之间的距离为（ ） A． B． C． D． 例1-2．已知与相交于点O，若，则的面积与的面积之比为（ ） A． B． C． D． 例1-3．在阳光下，嘉琪身高，自己影子的长是，同一时刻测得工厂的国旗旗杆比企业旗的旗杆影子长，则该旗杆的高度差是（ ）． A． B． C． D． 例1-4．如图，这是一把折叠椅子及其侧面的示意图，线段和相交于点，点在的延长线上，测得，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【对应导练】 1．已知一个三角形的三边为9、12、16，与它相似，其中，，那么 ． 2．如图，已知，，，，则 ． 3．如图，将腰长为的等腰三角形纸片，沿与底边平行的方向剪去一个小的等腰三角形纸片，剩下一个等腰梯形纸片，如图所示．若剪去纸片面积是剩下的纸片面积的 ，则剪去等腰三角形纸片的腰长为 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，它们的夹角为．直线交x负半轴于点A，直线与x正半轴交于点，那么点A的坐标是 ． 5．如图，将平移到的位置，点A的对应点为点分别交于点，若，则 ． 知识点2 射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90 ，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB 很容易推出：． AC·BC＝AB·CD． BC2＋AC2＝AB2． ． AC＋BC＜AB＋CD． 用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系： ① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ； ⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q． 利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边 【新知导学】 例2-1．阅读与思考，完成后面的问题． 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论： ①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）： ∵是斜边上的高，∴．∵，， ∴．∴（依据）．∴．即． (1)材料中的“依据”是指　　　　； (2)选择②或③其中一个结论加以证明； (3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标． 【对应导练】 1．（1）问题情境：如图1，Rt中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用与相似证明AC2＝AD AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理． （2）结论运用：如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，试利用射影定理证明． 2．材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德 ... ...