人教A版（2019） 选择性必修 第二册 第四章 4.1.2　数列的递推公式及前n项和(课件+学案+练习，3份打包)

第二课时　数列的递推公式及前n项和 课标要求　1.理解数列的递推公式是数列表示方法中的一种. 2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法. 3.会用an与Sn的关系求通项公式. 【引入】 斐波那契(1175年－1250年)，中世纪意大利数学家，斐波那契数列，又称黄金分割数列，斐波那契以兔子的数量展示他的数列：最开始有一对小兔子，一个月后成熟；第二个月，母兔妊娠；第三个月，生一对小兔.小兔也花一个月成熟，然后，如同它们的父母，从第三个月开始每月生一对小兔.斐波那契发现每月的兔子数都是前两个月的数量之和，是这样的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，在数学上，斐波那契数列以如下递归的方法定义：F(0)＝0，F(1)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥2，n∈N*).斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学领域、几何领域、生物领域甚至美学领域等都影响甚广. 一、数列的递推公式 探究1 观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列中的前后项写出上下层之间的关系？ _____ _____ 【知识梳理】 递推公式：如果一个数列的_____或_____之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 温馨提示　(1)与数列的通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式； (2)数列的通项公式和递推公式是给出数列的两种不同表示方法，但它们的用途一致，都能确定一个数列. 例1 (1)(链接教材P6例4)(多选)下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是(　　) A.an＋1＝an＋n，n∈N* B.an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n∈N* D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 (2)(链接教材P6例5)在各项均为正数的数列{an}中，an＋1＝＋，则当a3＝2时，a1＝_____. _____ _____ 思维升华　应用递推公式求数列的项的一般思路 (1)如果项的序号较小，一般将题目给出的已知项的值，代入递推公式求得相邻项的值，依此类推，逐步求得所要求的项的值； (2)如果项的序号较大，一般先根据递推公式写出数列的前几项，通过观察和分析，发现数列的周期，然后利用周期性求出数列的项. 训练1 在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝1－，试求a2 025的值. _____ _____ _____ _____ 二、由递推公式求通项公式 探究2 通项公式与递推公式都是表示数列的常见方法，你能比较一下它们的异同吗？研究数列问题时，哪种形式更方便？ _____ _____ 例2 (1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝(　　) A.2＋ln n B.2＋(n－1)ln n C.2＋nln n D.1＋n＋ln n (2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an(n∈N*)，则an等于(　　) A.n＋1 B.n C. D. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.(只适用于选择题、填空题) (2)迭代法、累加法或累乘法： ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法. ②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法. 训练2 (1)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2，n∈N*，则an＝_____. (2)设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝_____. _____ _____ _____ 三、前n项和Sn与an的关系 探究3 如果我们把数列{an}的前n项加在一起的和记作Sn，那么你能用它表示a2吗？a7＋a8＋a9怎么表示？an呢？ _____ _____ 【知识梳理】 1.数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝_____. 2.数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示 ... ...