3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（同步检测） 一、选择题 1.已知椭圆C 的短轴长与焦距相等，则离心率e为( ) A. B. C. D. 2.已知椭圆的离心率为，焦点是(－3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为( ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 4.设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( ) A. B. C. D. 5.椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( ) A. B. C. D. 7.(多选)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为6π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为( ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 8.(多选)为使椭圆＋＝1的离心率为，正数m的值可以是( ) A.1 B. C. D. 二、填空题 9.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是_____ 10.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的标准方程． 15.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； (2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率． 参考答案及解析： 一、选择题 1.B 解析：设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，由题意可得，2b＝2c，∴b＝c，∴a＝＝b，∴e＝＝＝. 2.A 解析：由题意知c＝3，＝，则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，∴椭圆方程为＋＝1. 3.A 解析：如图，不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点． INCLUDEPICTURE "D:\\张梦梦\\2023\\同步\\数学 人A 选择性必修第一册\\word\\A482.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\张梦梦\\2023\\同步\\数学 人A 选择性必修第一册\\word\\A482.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\张梦梦\\2023\\同步\\数学 人A 选择性必修第一册\\word\\A482.TIF" \* MERGEFORMATINET 依题意可知，△BF1F2是正三角形． ∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴cos 60°＝＝，即椭圆离心率e＝. 4.C 解析：如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形 |PF2|＝|F2F1| 2＝2c e＝＝. INCLUDEPICTURE "D:\\张梦梦\\2023\\同步\\数学 人A 选择性必修第一册\\word\\A483.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\张梦梦\\2023\\同步\\数学 人A 选择性必修第一册\\word\\A483.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE ... ...
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