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课件网) 选择必修 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数的在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 1.函数的极值 教学目标 学习目标 数学素养 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数极值与导数的关系． 1.几何直观素养和数学抽象素养. 2.掌握函数在某一点取取得极值的必要条件与充分条件． 2.数学抽象素养和逻辑思维素养. 3.掌握函数极值的判定及求法． 3.数学运算素养和逻辑思维素养. 温故知新 函数的单调性与导数的关系 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增; 在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减； 在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)=0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)内为常函数. 如果f(x)在(a,b)内为增函数，则f′(x)≥0在(a,b)内恒成立； 如果f(x)在(a,b)内为减函数，则f′(x)≤0在(a,b)内恒成立. 如果函数在某些点处的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 知新探究 观察图(1), 我们发现, t=a时, 高台跳水运动员距水面的高度最大. 那么, 函数h(t)在此点的导数是多少呢 此点附近的图象有什么特点 相应地, 导数的符号有什么变化规律 单调递增 单调递减 h′(a)=0 t
0 t>a,h'(t)<0 放大t=a附近的图象, 如图⑵所示. O t a b h 图⑴ 知新探究 由图可以看出, h′(a)=0; 在t=a的左右附近, 单调递增 单调递减 h′(a)=0 t0 t>a,h'(t)<0 放大t=a附近的图象, 如图⑵所示. O t a b h 图⑴ 当t0; 当t>a时，函数h(t)单调递减，h'(t)<0. 这就是说，在t=a附近，函数值先增后减，即当t在a的附近从小到大经过a时，h'(t)先正后负，且h'(t)连续变化，于是有h'(a)=0. 对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢 知新探究 以x=a, b两点为例， 如图，函数 y=f(x) 在 x=a, b, c, d, e 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 ？ y=f(x) 在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x) 的导数的正负性有什么规律？ 知新探究 函数f (x)在x=a的函数值比它附近的函数值都小. 函数f (x)在x=b的函数值比它附近的函数值都大. 知新探究 f ′(a)=0 f ′(b)=0 知新探究 在x=a附近 左侧f ′(x)<0, 右侧f ′(x)>0 在x=b附近 左侧f ′(x)>0, 右侧f ′(x)<0 知新探究 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数y=f(x)的极小值； b叫做函数y=f(x)的极大值点， f(b)叫做函数y=f(x)的极大值；极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值(extremum). 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. 知新探究 思考：函数的极大值一定大于极小值吗？ ⑴极值反映了函数在某一点附近的大小情况刻画了函数的局部性质; ⑵ 一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个； ⑶函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系； ⑷函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点； ⑸单调函数一定没有极值. 知新探究 【例1】求函数f(x)=的极值. 解： 令f ′(x)=0，解得x=-2,或x=2 ∵函数f(x)=， ∴f ′(x)＝x2-4=(x+2)(x-2), 当x=-1变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表所示． ∴函数f (x)=的图象如图所示． x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f ′(x) + 0 - 0 + f (x) 单调递增 . 单调递减 - 单调递减 因此，当x=-2时，f (x)有极大值，并且极大值为f (-2)=. 当x=2时，f (x)有极小值，并且极小值为f (2)=. x y O -2 2 知新探究 即函数f(x)= x3是增函数，所以0不是函数f(x)= x3的极值点(如图). 导数为0的点不一定是函数的 ... ... 
