2024-2025学年北京市朝阳区高三上学期期末考试数学试卷 一、单选题：本大题共10小题，共40分。 1.已知全集，集合，则( ) A. B. C. D. 2.在复平面内，复数对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知抛物线若其焦点到准线的距离为，则抛物线的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 4.函数的图象的一个对称中心是( ) A. B. C. D. 5.“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.已知圆，过点的直线与圆交于两点．当取最小值时，直线的方程为( ) A. B. C. D. 7.沙漏是一种古代计时仪器．如图，某沙漏由上下两个相同圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的，则这些细沙的体积为( ) A. B. C. D. 8.若函数，恰有两个零点，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.“三分损益法“是古代中国发明制定音律时所用的方法，现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的，第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的，第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫，商，角，徵，羽“，则“宫“与“角“所对琴弦长度之比为( ) A. B. C. D. 10.设是无穷数列，若存在正整数使得对任意，均有，则称是间隔递减数列，其中称为数列的间隔数．给出下列三个结论： 若，则是间隔递减数列； 若，则是间隔递减数列； 若，则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是． 其中所有正确结论的序号是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，共25分。 11.在的展开式中，的系数为 用数字作答 12.双曲线的渐近线方程是 ；设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则 ． 13.使不等式成立的一个的值是 ． 14.已知为所在平面内一点，满足，且，，设为向量的夹角，则 ； ． 15.在棱长为的正方体中，点在线段上不与重合，于于，以下四个结论： 平面； 线段与线段的长度之和为定值； 面积的最大值为； 线段长度的最小值为． 其中所有正确的结论的序号是 ． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.在中，． 求； 若，再从条件，条件，条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积． 条件：；条件：；条件： 注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17.随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活．在教育领域，的赋能潜力巨大为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了名教师，对使用、、、四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 男 女 在上述样本所有使用种大模型的人中，统计使用、、、的大模型人次如下： 大模型种类 人次 用频率估计概率． 从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种大模型、、、中的概率； 从该地区使用种大模型、、、中的教师中，随机选出人，记使用的有人，求的分布列及其数学期望； 从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用大模型、、、中的种数分别为，比较的数学期望的大小．结论不要求证明 18.如图，在五面体中，平面，，，，，，分别为的中点，连接． 求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值； 线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19.已知函数，其中是常数，． 当时，求曲线在点处的切线方程； 求的极值． 20.已知椭圆的离心率为，右顶点为． 求椭圆的方程； 过原点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点．已知点，直线与椭圆的另一个交点分别为证明：直线过定点． 21.已知无穷数列，给定正整数，若数列满足 ... ...
