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课件网) 第 3 章 函数的概念及其表示 3.2.1 函数的单调性 人教A版2019必修第一册 证明函数单调性 3 探究函数的单调性 1 函数单调性的定义 2 目录 教学目标 1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图象理解和研究函数的单调性.（数学抽象） 2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.（逻辑推理） 3.会求一些具体函数的单调区间.（数学运算） 情景导入 01 情景导入 泰山作为中国地理文化的象征,以其拔地通天之势屹立在齐鲁大地之上,泰山的美在于它的起伏变化.类似地,作为高中数学的核心,函数的魅力也是如此.今天我们一起来探究函数的起伏变化———函数的单调性. 探究函数单调性 02 概念讲解 观察：下面各个函数的图象 问题1:函数图象都有什么特征 图一为上升趋势，图二、图三有上升也有下降趋势. 问题2:反映了函数的哪些性质？ 函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质，即反映了函数图象的单调性。 概念讲解 探究：二次函数f(x)=x2的单调性 ②时,随的增大而增大 任取 有 ①时,随的增大而减小。 有 任取，当时 概念讲解 思考：函数各有怎样的单调性 作出函数图象可以看出 在递减， 在递增。 作出函数图象可以看出 在递增， 在递减。 函数单调性的定义 03 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I， x1，x2∈D, 当x1
f(x2), 则称函数f(x)在区间D上单调递减, 区间D为f(x)的单调递减区间. 图示 概念讲解 函数单调性的定义 注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数. ②若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有严格的单调性. 单调性是局部性质 概念讲解 常见的函数单调性定义的等价形式(对于任意的 )： 在D上为增函数； 在D上为减函数； 在D上为增函数； 在D上为减函数. 即自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为增函数； 自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为减函数； 概念辨析 思考：函数在定义域的某区间上存在满足，且，那么函数一定是增函数吗？ 不一定是增函数，如右图 x1,x2有“任意性”，不能用特殊值判断函数的单调性. 概念辨析 练习：如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上,f(x)是增函数还是减函数。 解：函数f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5], 其中f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数， 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。 函数f(x)有多个单调区间的，要用“，”或“和”来连接，不能用“∪”或“或”来连接 概念讲解 一次、二次函数及反比例函数的单调性: (1)一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性由系数k决定:当k>0时,该函数在R上是增函数;当k<0时,该函数在R上是减函数. (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性以对称轴x=为分界线. 概念讲解 (3)反比例函数y=的单调性如下表. 证明函数单调性 04 概念讲解 任取单调递增 任取单调递减 判断(证明)单调性： 函数单调性的应用： 概念讲解 例1. 根据定义，研究函数的单调性 解：函数的定义域是R，对于任意的且 都有 由 知 ， 这时，函数是增函数； 当 时， ，即 ， 这时，函数是减函数； 当 时， ，即 ， 取值 作差变形 定号 结论 概念讲解 归纳小结 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1
