3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质（同步检测） 一、选择题 1.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( ) A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4 C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4 2.已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( ) A. B. C. D. 3.若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为( ) A.y＝±2x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 4.设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 5.已知P为双曲线－x2＝1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|·|PB|的值为( ) A.4 B.5 C. D.与点P的位置有关 6.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c,0)关于直线y＝－x的对称点Q在该双曲线上，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 7.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( ) A. B.2 C. D.2 8.(多选)已知一组直线x±2y＝0，则以该组直线为渐近线的双曲线有( ) A.x2－4y2＝1 B.4y2－x2＝1 C.x2－＝1 D.－y2＝1 9.(多选)若双曲线C的一个焦点为F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是 ( ) A.C的方程为－＝1 B.C的离心率为 C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2 二、填空题 10.以y＝±x为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为_____ 11.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为_____ 12.已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1(m>0，n>0)．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆M的离心率为_____；双曲线N的离心率为_____ 13.已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为_____. 三、解答题 14.求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分； (2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6. 15.求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； (2)过点(2,0)，与双曲线－＝1的离心率相等． 16.已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率． 参考答案及解析： 一、选择题 1.A 解析：令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)， ∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，即双曲线方程为x2－y2＝8. 2.C 解析：由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝＝. 3.B 解析：∵e＝，∴＝，即＝3，∴b2＝2a2，∴双曲线方程为－＝1， ∴渐近线方程为y＝±x. 4.C 解析：由双曲线的几何性质可得，双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±x，故a＝2. 5.C 解析：设点P(x0，y0)，则有－x＝1，所以y－4x＝4.易知双曲线－x2＝1的渐近线方程为2x±y＝0，所以|PA|·|PB|＝·＝＝. 6.B 解析：设双曲线的左焦点关于bx＋ay＝0的对称点为Q(x，y)，由题意可得解得x＝，y＝，即Q，而点Q在双曲线上，则－＝1，整理可得(c2－2a2)2－4a4－a2c2＝0，即c4＝5a2c2，所以c2＝5a2，即离心率e＝＝，故选B． 7.D 解析：∵e＝＝＝，∴＝1.∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0. ∴点(4,0)到C的渐近线的距离d＝＝2. 8.ABD 解析：x2－4y2＝1的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故A项符合题意；4y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故B项符合题意；x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，即2x±y＝0，故C项不符合题意；－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故D项符合题意，故选ABD． 9.AD 解析：由双曲线C的一个焦点为F ... ...
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