2.4.1圆的标准方程 教案

第二章 直线和圆的方程 2.4.1圆的标准方程 1.掌握圆的几何要素，学会用定义推导圆的标准方程，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养； 2.学会用待定系数法和几何法求圆的标准方程，加深学生对数形结合思想的理解，提高学生用坐标系解决几何问题的能力； 3.掌握判断点和圆位置关系的方法，并能用点和圆的位置关系解决具体的问题. 重点：用定义推导圆的标准方程，判断点与圆的位置关系． 难点：利用所给已知条件推导圆的标准方程． （一）创设情景 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也有大量描写： 《古朗月行》 唐 李白 小时不识月，呼作白玉盘。又疑瑶台镜，飞在青云端。 如果把天空看作一个平面，月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？ 设计意图：举生活中的实际物体，抽象出平面几何图象———圆，让学生从生活中去发现数学，培养学生的学习兴趣. （二）探究新知 任务1：探究圆的标准方程. 思考：(1)在初中，我们学习了圆.那么，圆是如何定义的呢？在平面中，确定一个圆的几何要素是什么？ (2)回顾如何建立直线方程？能否类比直线方程的建立过程建立圆的方程？ 答：(1)根据圆的定义，圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹)，其中定点是圆心，定长是半径.在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.所以，确定一个圆的几何要素有圆心和半径. (2)由直线几何要素逻辑递推出直线方程，类比直线方程的建立过程，也可以由圆的几何要素逻辑递推出圆的方程. 直线方程的建立： 圆的方程的建立： 探究：如图，在平面直角坐标系中，设的圆心的坐标为，半径为，你能推导出该圆的标准方程吗？ 合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报. 答：设为圆上任意一点，就是以下点的集合 根据两点间的距离公式，点的坐标满足的条件可以表示为 两边平方，得 由此，若点在上，点的坐标就满足该方程；反过来，若点的坐标满足该方程，就说明点与圆心间的距离为，点就在上.这时，我们把该方程称为圆心坐标为，半径为的圆的标准方程. 特别地：圆心在坐标原点即时，圆的方程为； 圆心在坐标原点即且半径为1时，圆的方程为，称为单位圆. 设计意图：通过生活中的具体实例，让学生领会指数增长和指数衰减模型，培养学生的学习兴趣. 任务2：探究点与圆的位置关系. 探究：点，，与圆的关系如图所示，则，，与圆的半径大小关系？ 合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报. 提示：→点在圆内 →点在圆外 →点在圆上 探究：点和圆在圆内的条件是什么？在圆外的条件是什么？ 答：在圆内 ，在圆外 推广：点和圆， 点点在圆内、在圆外、在圆上的条件分别是什么？ 在圆内 在圆外 在圆上 设计意图：通过具体的例子，让学生分析认识点与直线的位置关系. （三）应用举例 例1 求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点和是否在这个圆上． 解：圆心为，半径为5的圆的标准方程是 把点的坐标代入方程的左边，得，所以点在这个圆上. 把点的坐标代入方程的左边，得，所以点不在这个圆. 【总结】 1.已知圆的圆心坐标和半径写圆的方程 第1步 准备圆心坐标和半径 第2步 将圆心坐标和半径的值代入圆的标准方程即可 注意：左边是平方的样子，不需要去括号，右边半径的平方计算出结果 2.如何判断点是否在圆上？ 将点的坐标代入圆的标准方程，满足方程则在圆上，反之，不在圆上 例2 的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程． 解：设所求的方程是 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程． 于是 即 观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，，， 得到关于，的二元一次方程组 解此方程组，得 代入，得． 所以，的外接圆的 ... ...