2.4.2 圆的一般方程 教案

第二章 直线和圆的方程 2.4.2圆的一般方程 1.理解圆的一般方程及其特点，发展数学抽象和数学建模的核心素养； 2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化。发展逻辑推理，直观想象、数学运算的核心素养； 3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．提升数形结合及方程思想，发展逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养； 重点：掌握圆的一般方程及其特点并会求圆的一般方程． 难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题． （一）创设情境 我们已经学习了曲线与方程的关系,也已经认识了直线方程的多种形式,刚刚学习了圆的标准方程,现给出一个一般的二元二次方程: Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A,C,D,E,F为常数) 提问：你能说出一个它分别表示：①直线;②圆;③y关于x的二次函数的必要条件吗 师生活动：教师展示本节课要学习的知识点让学生有第一印象，从而与之前所学知识产生一定的联系，之后提出问题，引导学生思考如何将其转化. 设计意图：通过复习引导，结合前面所学知识引出本节数学知识，学生会感到熟悉而又易于接受. 同时，能使他们体会数学的整体性和关联性，有效的促进知识的迁移,为接下来的学习打下铺垫. （二）探究新知 任务1：圆的一般方程 思考1：类比直线方程的研究过程，说说该如何研究圆的方程？ 猜想：圆的方程是否也有一般式？ 说一说：说出圆 (x－1)2 + (y+2)2 = 4的圆心坐标、半径并展开该方程 答：圆心坐标为(1,-2)；半径为2； 圆的标准方程展开式为：x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0. 设计意图：明确研究内容和研究思路，将圆的标准方程进行拓展，引导学生研究其中最基本的关系，明晰联系，探究圆的标准方程到一般方程的转变. 思考2：.若展开圆的标准方程 (x – a)2 + (y – b)2 = r2 可以得到什么？ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 展开得： x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0， 由于 a，b，r 均为常数，可令 – 2a = D，– 2b = E， a2 + b2 – r2 = F 总结：任何一个圆的方程都可以写成：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的形式. 设计意图：引导学生认识圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的关系. 思考3：形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的方程一定能通过恒等变形为圆的标准方程吗？ 反例：x2 + y2 – 2x – 4y + 6 = 0 变形为： (x – 1)2 + (y – 2)2 = – 1； 因为任意一个点的坐标 (x，y) 都不满足上述方程，即这个方程不表示任何图形；所以形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的方程不一定通过恒等变形变为圆的标准方程. 总结：形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 方程不一定是圆的方程. 设计意图：通过思考探究，让学生深刻、形象地掌握向量表示两条直线的垂直关系，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养. 思考4：方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 中的 D、 E、 F 满足什么条件时，这个方程表示圆？ 将方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 配方得： （1）当D2 + E2 – 4F > 0时，表示以 (，) 为圆心，为半径的圆； （2）当D2 + E2 – 4F = 0时，只有实数解 x = ，y = ，它表示一个点 (，)； （3）当D2 + E2 – 4F < 0时，没有实数解，它不表示任何图形. 设计意图：由特殊到一般，引导学生思考，总结，从而自然引出方法，得到结论，培养学生的逻辑思维能力，类比迁移能力；再由一般到特殊，检验学生的掌握情况和应用水平. 总结：当 D2 + E2 – 4F > 0 时，方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示一个圆. 概念：圆的一般方程为x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（D2 + E2 – 4F > 0） （1） x2 与 y2 系数相同并且不等于 0； （2）圆心：(，)，半径：. 各抒己见：圆的标准方程与一般方程各有什么特点？ 回答：圆的标准方程与圆的一般方程的特点 设计意图：通过对圆的一般方程的讨论，帮助学生总结圆 ... ...