3.1.1 椭圆及其标准方程 教案

第三章 圆锥曲线的方程 3.1.1椭圆及其标准方程 共2课时 第1课时 椭圆及其标准方程 1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义； 3.了解椭圆的标准方程的推导过程，并渗透数形结合、等价转换的数学思想方法； 4.掌握椭圆的标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程； 5.通过参与课堂活动，激发学习数学的兴趣，提高审美情趣，培养勇于探索的精神. 重点：椭圆的定义及其标准方程. 难点：椭圆标准方程的推导. 创设情境 情境一：某天文台对海尔-波普彗星进行了长期的观测，经天文学家计算，我们得知从1997年2月中旬起，海尔-波普彗星将逐渐接近地球，4月过后又将渐渐离去，并且大约两千多年后，它将再次光临地球上空.天文学家是根据什么得出这样的结论呢 原来，海尔-波普彗星的运行轨道是一个椭圆，通过推算它的运行轨道的方程，算出它的运行周期及轨道的周长，即可得出这一结论.可见只要你留心，就能发现椭圆离我们的生活并不遥远.那么在数学方面，我们应学习和掌握椭圆的哪些内容呢 设计意图：通过生活中的实例，激发学生探求问题的兴趣，引入课题. 情境二：用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆.如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢 答：用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线. 设计意图：通过问题和图片引发学生思考，让学生初步了解了圆锥曲线，同时激发学生探究问题的兴趣，使学生积极、主动地参与教学，为后继的学习做好准备. （二）探究新知 任务1：椭圆的定义. 探究1：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是什么 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么 师生活动：教师给出探究要求，学生动手操作，并注意观察. 答：笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是到定点的距离等于定长. 探究2：如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，((如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么 师生活动：教师给出探究要求，学生按小组进行操作. 思考：（1）在画图的过程中，细绳的两端是固定的还是运动的 在画图过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系 在画图过程中，绳子的长度变了没有 说明了什么 答：（1）细绳的两端是固定的. （2）绳子长度大于两定点距离. （3）绳子的长度不变，说明移动的笔尖(动点)到两个定点的距离的和等于常数. 总结：探究2所得到的图形就是椭圆.满足的几何条件有三个：定点、距离的和等于常数、常数要大于两定点之间的距离. 【概念的形成】根据上述探究过程，类比圆的定义，可以得出椭圆的定义. 椭圆的定义： 把平面内与两个定点，的距离的和等于常数(大于||)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 探究3：（1）若绳长等于两定点之间的距离，画出的图形还是椭圆吗 若不是，是什么图形 答：不是，是线段. （2)若绳长小于两定点之间的距离呢 答：无轨迹. 【总结】设集合，，其中，均为大于0的常数.当时，点集为椭圆；当时，点集为线段；当时，点集为空集，即动点的轨迹不存在. 设计意图：以探究活动为载体，让学生在做中学数学，通过画椭圆，小组讨论，让学生经历知识的形成过程，积累感性经验. 任务2：椭圆的标准方程 思考：用坐标法解 ... ...