3.2.1 双曲线及其标准方程 教案

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.1双曲线及其标准方程 通过双曲线画法的分析，掌握双曲线的定义； 理解双曲线标准方程的推导过程，进一步掌握利用坐标法求曲线方程，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法； 掌握双曲线标准方程的两种形式，会运用待定系数法求双曲线的标准方程； 通过参与课堂活动，激发学生学习数学的兴趣，提高审美能力，培养勇于探索的精神. 重点：双曲线的定义和标准方程. 难点：双曲线标准方程的推导过程. (一)创设情境 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线,如发电厂冷却塔的外形 美丽的花瓶、台灯的光束等.本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题. 师生活动：教师展示有关双曲线的实物图,引导学生发挥想象力，找到更多优美的双曲线. 设计意图：通过直观感知，引导学生了解生活中的双曲线，激发学生探究双曲线的兴趣，使学生主动、积极地参与到教学中来，为后续的学习做好准备. (二)探究新知 任务1：双曲线的定义 探究：如图，在直线上取两个定点是直线上的动点,在平面内,取定点,,以点为圆心 线段为半径作圆,再以为圆心、线段为半径作圆. 思考1：随着点的运动，两圆交点满足什么条件？其轨迹是什么形状？ 答：，轨迹是椭圆. 思考2：两圆一定相交吗？当满足什么条件时，两圆相交？ 答：如果，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆；如果，两圆不相交，不存在交点轨迹. 探究：改变条件：在的条件下，让在线段外运动，如图： 思考1：随着点的运动，两圆交点满足什么条件？其轨迹是什么形状？ 答：，轨迹是左右两支曲线. 思考2：同样地，两圆一定相交吗？什么条件下才能相交？ 答：如果，那么两圆相交，其交点的轨迹是不同于椭圆的曲线（即双曲线）；如果，两圆不相交，不存在交点轨迹. 探究2：你能利用拉链等日常生活中的物品作出双曲线吗？ 答：如图1所示，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点，上，把笔尖放在点处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就形成一条曲线，这就是双曲线的一支.把拉链上两个固定点的位置交换，如图2所示，类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来就是双曲线. 师生活动：实验过程可让学生参与，教师引导学生找出双曲线定义的关键. 【概念的形成】 双曲线的定义：一般地，我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 思考1：在双曲线的定义中，去掉“绝对值”可以吗？ 答：不可以.因为双曲线有两支，当，是右支；当，是左支. 思考2：在双曲线的定义中，去掉“小于”，则点的轨迹是怎样的？ 答：若，则的轨迹是双曲线； 若，则的轨迹是两条射线； 若，则的轨迹不存在； 若，则的轨迹是线段的中垂线. 设计意图：通过探究，引导学生类比思考，抽象得出双曲线的定义，培养学生的动手能力，发展学生的数学抽象、直观想象等核心素养. 任务2：双曲线的标准方程 师生活动：教师提出思考问题，学生思考并讨论，教师讲授. 思考：类比椭圆，你认为怎样建立坐标系可以使所得的双曲线方程形式简单？ 答：双曲线也具有对称性，直线是它的一条对称轴，取经过两焦点和的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 思考：双曲线上动点满足什么条件 如何得出双曲线的标准方程？ 答：设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，则双曲线的焦点分别为 ，，又设2a（为大于的常数，）. 由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合： 因为 所以 --① 类比椭圆的标准方程的化简过程，化简①，得 两边同除以，得 . 由双曲线的定义可知，，即，所以. 类比椭圆标准方程的建立过程，令，其中,代入上式，得 --② 总结：从上述过程 ... ...