相似三角形的性质 同步练习（原卷版+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 相似三角形的性质 同步练习 题号 6 7 答案 B C 一．试题（共9小题） 1．如图，有一块三角形的余料△ABC，它的高AH＝40mm，边BC＝80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF落在BC上，其余两个顶点D、G分别在AB、AC上． （1）求证：△ADG∽△ABC； （2）设DE＝xmm，矩形DEFG的面积为ymm2，写出y与x的函数关系式； （3）当x为何值时，y有最大值，并求出最大值． 【思路点拔】（1）利用矩形的性质，DG∥EF，利用同位角相等，即可求证△ADG∽△ABC； （2）根据△ADG∽△ABC，利用相似比等于对应高的比，求得DG＝2（40﹣x），然后即可求出用x表示的矩形面积的关系式． （3）当﹣2（x﹣20）2＝0时，y的值最大．解得x即可． 【解答】解：（1）由于四边形DEFG是矩形，所以DG∥EF， ∴∠ADG＝∠ABC，∠AGD＝∠ACB， ∴△ADG∽△ABC， （2）由△ADG∽△ABC得， ∴， ∴DG＝2（40﹣x） 则矩形面积y＝x 2（40﹣x）＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800 整理得y＝﹣2（x﹣20）2+800． （3）当﹣2（x﹣20）2＝0时．y的值最大． 解得x＝20，即当x＝20时，y的值最大，最大值为800． 答：（2）y与x的函数关系式为：y＝﹣2（x﹣20）2+800． （3）当x＝20mm时，y的值最大，最大值为800mm2． 2．有一块三角形的余料△ABC，它的高AH＝40mm，边BC＝80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF落在BC上，其余两个顶点DG分别在AB，AC上，且DG＝2DE，求矩形的面积． 【思路点拔】如图，设AH交DG于点K．设DE＝x，则DG＝2x，先证明△ADG∽△ABC，利用相似比得到，在根据比例性质求出x，然后计算出DG，从而可得到矩形的面积． 【解答】解：如图，设AH交DG于点K．设DE＝x，则DG＝2x， ∵DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， ∴，即，解得x＝20， ∴2x＝40， 即DE＝x，DG＝40， ∴矩形EFGD的面积为40×20＝800（mm2）． 答：矩形的面积为800mm2． 3．如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝80cm，高AD＝60cm．现在要把它加工成长与宽的比为2：1的矩形零件PQMN，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．求矩形的长和宽． 【思路点拔】根据矩形的性质推出△ANM∽△ABC，直接利用相似三角形的性质得出，进而得出MN，NP的长，即可得出答案． 【解答】解：∵矩形PQMN中，MN∥QP，MN＝QP， ∴△ANM∽△ABC， 又∵AD⊥BC， ∴AE⊥MN， ∴， 设MN＝2x cm，则ED＝NP＝x cm， ∴AE＝（60﹣x）cm， ∴， 解得：x＝24， ∴MN＝2x＝48（cm），NP＝x＝24（cm）， ∴矩形的长和宽分别为48cm，24cm． 4．一块三角形余料ABC，它的边长BC＝12厘米，高AD＝8厘米，要把它加工成正方形零件PQMN，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则加工成的零件边长为多少厘米？ 【思路点拔】根据矩形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可． 【解答】解：∵四边形EFCG是正方形， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽ABC， ∴， 又 AD⊥BC， EF＝EG＝KD， 设正方形边长为x cm，则AK＝（8﹣x）cm， ∴， 解得：x＝4.8， 答：这个正方形零件的边长为4.8cm． 5．在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．如图①，四边形DEFG为Rt△ABC的内接正方形，则正方形DEFG的边长为 　　，如图②，若Rt△ABC内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，则正方形的边长为 　　． 【思路点拔】（1）根据题意画出图形，作CN⊥AB，再根据GF∥AB，可知△CGF∽△CAB，由相似三角形的性质即可求出正方形的边长； （2）若Rt△ABC内有并排的2个全等的正方形，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N，同（1）可知，△CGF∽△CAB，根据对应边的比等于相似比可求出正方形的边长，同理可得出有3个， ... ...