4.2 等差数列 课时练（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等差数列课时练 一、单选题 1．已知等差数列的前项和为，若，则的公差等于（ ） A． B． C． D． 2．已知等差数列满足，则等于（ ） A． B． C． D． 3．设等差数列的前项和为，且，则当最大时，（ ） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 4．若等差数列的前项和为，则“且”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（ ） A．15或16 B．13或14 C．16或17 D．14或15 二、多选题 6．已知无穷等差数列的前项和为，且，则（ ） A．在数列中，最大； B．在数列中，最大 C． D．当时， 7．已知是等差数列的前项和，，且，则（ ） A．公差 B． C． D．时，最大 8．数列的前n项和为，已知，则（ ） A．是递减数列 B． C．当时， D．当时，取得最大值 三、填空题 9．若数列是公差为的等差数列，正整数满足，则 ． （1）特别地，当时， ． （2）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即 ． （3）若数列是公差为的等差数列，则 ①数列（为任一常数）是公差为 的等差数列； ②数列（为任一常数）是公差为 的等差数列； ③数列（为常数，）是公差为 的等差数列． （4）若分别是公差为的等差数列，则数列（是常数）是公差为 的等差数列． 10．已知是等差数列的前项和，且，，则 . 11．设等差数列与的前n项和分别为，，且，则 ． 四、解答题 12．已知是等差数列的前n项和，且，. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前100项和. 13．在数列中，数列满足 (1)证明数列是等差数列并求出通项公式. (2)数列的前n项和为，问是否存在最大值 若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 五、选做题 14．已知数列的前项和为，且. (1)求的值； (2)求证：. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C A A AD BC ABD 1．B 【分析】本题考查等差数列基本量的计算，根据等差数列的性质，列出通项以及前项和，解出数列的公差. 【详解】根据等差数列的定义和题目条件，有：， ， 整理得， 解得. 故选：B 2．D 【分析】根据条件，利用等差数列的性质，即可求解. 【详解】因为，解得， 故选：D. 3．C 【分析】利用等差数列前项和公式和等差数列的性质求解即可. 【详解】由可得，即， 由可得，即， 所以， 则数列是前1012项为正数，从第1013项开始为负数的递减数列， 故当最大时，， 故选：C 4．A 【分析】根据等差数列的单调性以及等差数列的性质即可判断，说明充分性，由时，即可说明不必要性. 【详解】因为且，所以等差数列单调递减，且公差小于0， 故，， 则， 即，所以， 由，当时，等差数列单调递增， 则不可能满足且， 因此“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．A 【分析】根据已知及等差数列的通项公式、前n项和公式求基本量，结合及数列单调性确定取最小值时的值. 【详解】由，， 所以，数列的公差，且， 所以，且数列单调递增， 故取最小值时，的值为15或16. 故选：A 6．AD 【分析】由题得，即可解决. 【详解】由题知，无穷等差数列的前项和为，且， 所以， 所以等差数列为递减数列， 所以在数列中，最大；当时，； 故选：AD 7．BC 【分析】根据已知条件列方程，根据等差数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设等差数列的公差为， 由得， 由于，所以，，所以AD选项错误，B选项正确. ，C选项正确. 故选：BC 8．ABD 【分析】首先根据数列前项和与通项的关系求出通项公式，再根据通项公式分析数列的单调性、特定项的值以及前项和的最值等性质. 【详解】当时，. 当时， 先展开式子：. 则. 当时，，也满足.所以. 因为，，所以为等差数列， 又一次项系数，所以是递减数列，A选 ... ...