8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 教案

第八章 立体几何初步 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式，能够使用公式计算这些几何体以及它们的组合体的表面积和体积； 2.通过研究圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式，渗透转化、类比、一般化与特殊化等数学思想方法； 3.通过研究球的体积公式，使学生体会极限的数学思想以及利用极限方法解决数学问题的一般思路. 重点：柱体、锥体、台体、球的表面积公式和体积公式. 难点：球的体积公式的推导. （一）创设情境 在我们实际生活中，经常会遇到求表面积和体积的实际需求，比如，计算一桶矿泉水的容积、计算装饰蒙古包圆锥型顶棚需要多少材料、圆台型花盆的容积，等等，都是求基本旋转体的表面积和体积的问题.这些问题如何解决呢？ 说一说：前面已经学习了多面体的表面积与体积公式，那么该如何推导圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断，而是引导学生进一步观察研探. 师生活动：教师引导学生回忆之前或能够想到的研究求体积与表面积公式的方法. 设计意图：通过引导学生小初阶段探究圆柱圆锥体积、表面积相关方法；探究棱柱、棱锥、棱台等求体积和面积的方法引出对本节课方法的思考. （二）探究新知 任务1：探究圆柱、圆锥、圆台的表面积公式及它们之间的联系 思考：如何求圆柱、圆锥、圆台的表面积呢？ 师生活动：引导学生回顾小学、初中所学相关推导方法，让同学们小组内交流，并汇报展示. 我们之前知道， 圆柱的侧面展开图是矩形，其侧面积是 圆锥的侧面展开图是扇形，其侧面积是 圆台可以看成是大圆锥截去一个小圆锥所得，其侧面积为 圆柱、圆锥、圆台表面积公式： (r是底面半径，l是母线长) (r是底面半径，l是母线长) (、r分别是上、下底面半径，l是母线长) 设计意图：通过学生自主回忆得出圆柱、圆锥表面积公式，推导得出圆台表面积公式，提高学生数学逻辑思维. 思考2：圆柱、圆锥、圆台的表面积公式和它们的结构特征有怎样的关系呢？ 要求：以小组为单位进行讨论交流，并展示所得结论. 答：当圆台的上底面缩小成一个点，即，圆台的表面积公式就转化成圆锥的表面积公式；当圆台的上底面扩大到和下底面全等时，即，圆台的表面积公式就转化成圆柱的表面积公式. 任务2：圆柱、圆锥、圆台体积公式及之间的关系 思考1：类比棱台的体积公式的计算方法，棱台的体积公式是如何推导的？圆柱、圆锥的体积公式分别是什么？ 答：由于棱台是由棱锥截成的，利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式 (r是底面半径，h是高) (r是底面半径，h是高) 说一说：该如何推导圆台的体积公式. 答： 圆锥的高，圆锥的高 公式也可表示为： （S为底面积，为柱体高）； （S为底面积，为锥体高） （分别为上、下底面面积，为台体高） 思考2：类比探究圆柱、圆锥、圆台表面积公式之间的关系，它们体积公式之间有类似的特征吗？ 答：圆台的体积公式中，当和即和，圆台的体积公式分别与圆锥、圆柱的体积公式相同. 任务3：球的表面积公式和体积公式 师生活动：先让学生看课本，引导学生回答下列问题 极限思想是重要的数学思想，球的体积公式是和如何利用这一思想推导出来的？ 答：通过无限切割球体，转化为计算棱锥体积进而得到. 把球O分成n个小网格，连接球心和每个小网格的顶点，整个球体被分割成n个小锥体. 当n越大，每个小锥体的底面越平，就越近似于棱锥， 小锥体体积为： n个小椎体底面积之和就近似为球体表面积，即 球的体积就是这n个 “小锥体”的体积之和， 其体积为. 球的表面积和体积公式：球的半径R， 设计意图：利用无限切割的方法推导球的体积，渗透极限思想，使学生体会极限思想以及利用极限方法解决问题的基本思路. （三）应用举例 例1 ... ...