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课件网) 祖暅原理与常见几何体体积 高中数学公开课 人教A版普通高中数学必修二 生活中的数学 牟合方盖的故事 牟合方盖中的数学 祖暅原理 祖暅原理 祖冲之与祖暅 祖暅原理 祖暅原理：幂势既同，则积不容异 图1 图2 夹在平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等. 球的体积 探究一：如何利用祖暅原理求球体的体积 问题1：球的截面都是什么图形？这些图形是否具有对称性？ 球的体积联想与构造 联想 构造 分析: 结论： 球的体积推导 注意: 球的体积验证 牟合方盖的体积 探究二：如何利用祖暅原理求牟合方盖的体积 问题1： （1）类比球的体积推导过程，可否将牟合方盖一分为二？ （2）能否找出与其同底等高的几何体，构建相关的几何体模型？ （3）类比半球体积的推导过程，猜想这三个几何体的体积之间有什么关系？ 环节6.牟合方盖的体积 问题2： （1）如图所示，用高为h的水平面去截这三个几何体，所截的面积分别为S1，S2，S3，试证明我们的猜想。 环节6.牟合方盖的体积 问题3： （1）还有没有其它方法可推导出牟合方盖的体积？ 结论： 牟合方盖的体积 结论： 效果检测 1.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出了体积计算原理（祖暅原理）： “ 幂势既同，则积不容异． ” 教材中的 “ 探究与发现 ” 利用祖暅原理将半球的体积转化为一个圆柱与一个圆锥的体积之差，从而得出球的体积计算公式．如图（ 1 ）是一种 “ 四脚帐篷 ” 的示意图，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，得截面四边形为正方形，该帐篷的三视图如图（ 2 ）所示，其中正视图的投影线方向垂直于平面，正视图和侧视图中的曲线均为半径为 1 的半圆．模仿上述球的体积计算方法，得该帐篷的体积为（ ）． A.2/3 B.4/3 C.Π/3 D.2Π/3 效果检测 答案：（ ） A.2/3 B.4/3 C.Π/3 D.2Π/3 分析： 答题区域： 效果检测 2(选做题).魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 Π ∶4．在某一球内任意取一点，则此点取自球的一个内接正方体的“牟合方盖”的概率为（ ）． A.1/2 B.2/3 C.4√3/9Π D.√3/9 效果检测 答案：（ ） 分析： 如图所示即为正方体外接球与内切球空间图形。 答题区域： 课堂回顾 问题回顾： 1.本节课学习了什么原理？ 2.用祖暅原理解决了什么问题？ 3.在解决问题的过程中得到了什么结论？ 4.在得到结论的过程中用到了哪些数学思想方法？ 5.本节课的学习中，了解了哪几位中国古代的数学家？ 课堂小结 一、基础知识： 1个原理：祖暅原理 2个几何体：球、牟合方盖 3个结论： 二、思想方法：数形结合、归纳类比、构造转化 三、核心素养：数学抽象、直观想象、数学建模、逻辑推理 四、数学文化：中国古代数学家———刘徽、祖冲之、祖暅 课后作业 基础作业： （1）如果一个球的大圆的面积增加到原来的n倍，那么这个球的体积会怎样变化？ 拓展作业： （2）如图所示，扇形的半径为 ，圆心角为 ，若扇形AOB绕直线OB旋转一周，图中阴影部分旋转后所得的几何体与某不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为多少？ 课后作业 探究作业： （3）如图所示，请各小组利用祖暅原理探究球的体积公式的思想探究椭球的 体积公式，椭球的体积公式如下: 椭球的球心在坐标原点,与x,y,z轴正向的交点分别为A(0,0,a),B(0,b,0),C(0,0,c),其中a,b,c分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴. 恳请各位专家老师批评指正！ ... ...
