2023-2024学年江西省宜春市丰城市第九中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024 学年江西省丰城市第九中学高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 3+ 1.已知 为虚数单位，若复数 = 对应的点在复平面的虚轴上，则实数 =( ) 2+ 3 3 A. B. C. 6 D. 6 2 2 2 2 2.“2 < | | < √ 6”是“方程 2 + = 1表示的曲线为椭圆”的( ) 4 6 2 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.记 为等比数列{ }的前 项和，若 3 = 3， 6 = 9，则 15 =( ) A. 48 B. 81 C. 93 D. 243 4.已知抛物线 2 = 4 的焦点为 ，准线为 ，过点 且倾斜角为30°的直线交抛物线于点 ( 在第一象限)， ⊥ ，垂足为 ，直线 交 轴于点 ，则| | =( ) A. 2 B. √ 3 C. 4 D. 2√ 3 5.过直线 = 0上一点 作⊙ ：( 2)2 + ( 3)2 = 1的两条切线，切点分别为 ， ，若使得 = = √ 7的点 有两个，则实数 的取值范围为( ) A. 3 < < 5 B. 5 < < 3 C. < 5或 > 3 D. < 3或 > 5 6.在形状、大小完全相同的4个小球上分别写上4位学生的名字，放入袋子中，现在4位学生从袋子中依次抽 取球，每次不放回随机取出一个，则恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3 7.已知函数 ( ) = 1 1 + 3 3 2 + 3 ，若实数 ， 满足 ( 2) + (2 2 1) = 2，则 √ 1 + 2的 最大值为( ) 3√ 2 3√ 2 5√ 2 5√ 3 A. B. C. D. 2 4 4 4 8.如图，在直三棱柱 1 1 1中， ， 分别为线段 1 1， 1的中点， 1 = 2 = 2, = 2√ 2，平面 ⊥平面 1 1 ，则四面体 的外接球的体积为 ( ) 5√ 10 A. 3 B. 10 第 1 页，共 11 页 C. 5√ 10 D. 30 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 +1 9.函数 ( ) = 2 的大致图象可能是( ) + A. B. C. D. 10.已知函数 ( ) = ln(2+ ) ln(4 )，则下列四个命题正确的是( ) A. 函数 = ( )在( 2,4)上是增函数 B. 函数 = ( )的图象关于(1,0)中心对称 2 C. 不存在斜率小于 且与数 = ( )的图象相切的直线 3 D. 函数 = ( )的导函数 = ′( )不存在极小值 11.著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在 上的函数 ( ) = 0, 是无理数 { .后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导.根据该函数，以下是真命 1, 是有理数 题的有( ) A. ( + ) ≤ ( ) + ( ) B. ( )的图象关于 轴对称 C. 2( ) = ( ( ))的图象关于 轴对称 D. 存在一个正三角形，其顶点均在 ( )的图象上 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.等差数列{ }中的 1， 2023是函数 ( ) = 3 6 2 +4 1的极值点，则 1 1012 = _____． 4 2 2 13.若 1， 2是双曲线 ： = 1的两个焦点， ， 为 上关于坐标原点对称的两点，且| | = | 1 2 |，4 16 设四边形 1 2的面积为 1 1，四边形 1 2的外接圆的面积为 2，则 = _____． 2 14.已知正项数列{ }的前 项和 满足( + 1) 2 + = 0( 为正整数)，则 = _____；记 ( ) = ∑ =1( | |)，若函数 = 2024( ) + 的值域为 ，则实数 的取值范围是_____． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第 2 页，共 11 页 15.(本小题13分) 公差不为0的等差数列{ }中，前 项和记为 .若 1 = 1，且 1，2 2，4 4成等比数列． (1)求{ }的通项公式； (2)求数列{ +1 }的前 项和 ． +1 16.(本小题15分) 如图，在三棱柱 1 1 1中， = = 2， ⊥ ， ， 分别是 ， 的中点， 1 = 1 = 2． (1)若平面 1 1 ⊥平面 1 1，求点 1到平面 的距离； (2)若 1 = √ 2，求平面 1 1与平面 1 1夹角的余弦值． 17.(本小题15分) 如图所示，一只蚂蚁从正方体 1 1 1 1的顶点 1出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点 1 为一次 ... ...