《4.2.1等差数列的概念》教案（2份打包）

第四章 数列 4.2.1等差数列的概念 第1课时 等差数列的概念及通项公式 1.理解并掌握等差数列、等差中项的概念，能判断一个数列是否为等差数列. 2.经历由等差数列的递推公式推导通项公式的过程，掌握等差数列的通项公式，并掌握其与一次函数之间的关系. 3.对等差数列的通项公式进行简单应用，体会函数与方程的思想在研究等差数列时的重要意义. 重点：掌握等差数列的定义，等差数列的通项公式. 难点：掌握等差数列的通项公式，并进行简单应用. （一）创设情境 观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题。 1、我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；① 2、我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…；② 3、2020年1月中，每个星期日的日期为5，12，19，26.③ 思考：观察数列①②③你能发现他们的规律吗？ 师生活动：独自思考，并汇报交流. 答：对于数列2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；① 我们发现：2029=2017+12，2041=2029+12，2053=2041+12，… 换一种写法就是：2029-2017=12，2041-2029=12，2053-2041=12，… 如果用表示数列①，则有： 对于数列①，有这样的规律：数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数12. 同样数列②满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数-5. 数列③满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数7. 设计意图：通过三个例子，让学生研究三个数列的共性，从而引出等差数列的定义. 探究新知 任务1：探究等差数列的概念． 探究：什么是等差数列，你能给出等差数列的定义吗？ 师生活动：教师提出问题，学生自主探究，尝试通过上述实例总结等差数列的定义，并交流分享. 总结：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 对定义的理解：等差数列的定义中的几个关键词是“从第2项起”，“同一个常数” 条件 从第2项起 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 结论 这个数列就叫做等差数列 有关概念 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示 思考：如果在数a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？ 师生活动：独自思考，并汇报交流. 答：由等差数列定义，有,所以，即. 此时，我们把A叫做a和b的等差中项. a和b的等差中项是它们的算术平均数. 任务2：探究等差数列的通项公式． 探究：你能根据等差数列的概念写出它的递推公式吗？ 师生活动：教师引导学生利用等差数列的概念，尝试写出递推公式. 设数列的首项为，公差为，则由定义可得： an＋1－an＝d. 思考1：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？ 答：设一个等差数列的首项为,公差为,根据等差数列的定义，可得 = 所以= ,= , = ,… 于是 + , + =(+ ) + + 2, + =(+ ) + + 3,…… 归纳可得+() (n) 当n时，上式为+() ，这就是说,上式当时也成立. 因此，首项为,公差为的等差数列的通项公式为+() 思考2：还有什么其他方法，推导等差数列的通项公式吗？ 一共有个等式，将它们进行累加，有即 思考3：由等差数列的通项公式可以看出，要求，需要哪几个条件？ 答：只要求出等差数列的首项和公差，代入公式即可. 设计意图：用不完全归纳法和累加法求出等差数列的通项公式，并且了解由等差数列的基本量：首项和公差，就可以求出通项公式，让学生自己分析、推导、得出结论，可以培养学生归纳、概括的能力，提高思维能力. 任务3：探究等差数列与一次函数的关系. 探究：观察等差数列的通项公式，它和哪一类函数有 ... ...