《4.2.2 等差数列的前n项和》教案（2课时打包）

第四章 数列 4.2.2 等差数列的前n项和 第1课时 1.掌握等差数列前n项和公式及其推导过程. 2.能用前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题. 3.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法. 重点：掌握等差数列前n项和公式及其推导过程 难点：能用前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题. （一）创设情境 前面的学习，我们了解了等差数列的概念，以及等差数列的通项公式.找两位同学说说看. 答：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示. 答：首项为，公差为的等差数列的通项公式为 在掌握了等差数列的概念及通项公式后，我们来看这样一个问题： 思考：如何求 学生讨论、思考. 答：高斯的计算方法是用1+100=101，2+ 99=101，3+ 98=101，···，50+ 51=101，这样计算出来. 思考：为什么呢？尝试从数列的角度给出解释. 师生活动：师生互动，生生讨论、交流；师揭示课题. 设计意图：教师以回顾旧知，帮助学生建立与新知的联系，通过高斯问题引发学生思考，高斯的算法的核心，设疑激发学生主动学习，以此顺利揭示本节课题. （二）探究新知 任务1：探究高斯算法中蕴含的数学思想. 思考：说说高斯在求和的过程中采用了什么方法？利用了数列的什么性质呢？ 师生活动：1.先独立思考1分钟；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报. 分析：采用了首尾配对相加的方法.高斯的算法实际上解决了求等差数列 前100项的和的问题. 答：设，那么高斯的计算方法可以表示为 可以发现，高斯在计算中利用了 在等差数列中，若，则. 思考：说说高斯求和过程的本质. 总结：高斯算法的本质:通过配对凑成相同的数（即101），变“多步求和”为“一步相乘”. 思考：你能用高斯的方法求吗？ 师生活动:1.先独立思考计算; 2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结. 分析：可以采用不同的方法进行配对. 答：方法1：先取出中间项，再首、尾项;次首、尾项依次相加.原式方法2：先取出未项，再首、尾项;次首、尾项依次相加.原式方法3：先凑成偶数项，再进行首、尾项相加.原式方法4：先凑成偶数项，再进行进行首、尾项相加.原式 任务2：探究高斯算法思想的进一步推广. 思考：尝试计算. 师生活动：1.先独立思考计算; 2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结. 分析：可以对项数n的奇偶性进行讨论. 答：当 是偶数时，有 所以 当 是奇数时，有所以 综上，对任意正整数，都有 . 思考：如果不对项数n的奇偶性进行讨论，能否计算得出自然数列的前n项和呢？ 答：采用倒序相加法，， ，将上述两式相加，可得 所以 思考：如何理解倒序相加法呢，它的妙处在哪里呢？ 分析：在一堆木棒中，第一层有1根木棒，下面的每一层都比上一层多一根，第层有根，如何快速求出这堆木棒有多少根？ ，∵ ，∴ . 任务3：探究用倒序相加法推导等差数列{}的前 项和. 思考：能够利用倒序相加法求等差数列的前项和吗？ 分析：由， 两式相加得,，. 推导出：， 两式相加得, 思考：如果将稍作变形，你能发现等差数列的什么特性呢？ 分析：，变形为，等差数列前项的平均数等于 . 总结：等差数列首项为，第项为,等差数列前n项和公式: ① 因为，代入①得: ② 思考：如果不从公式①变形推导，能得到公式②吗？ 分析： 总结：等差数列前n项和公式. 已知首项、末项与项数，求出 ① 已知首项、公差与项数，求出 ② 注意： ① ②运用方程思想在五个量中知三求二. 思考：类比推导，说说等差数列的前项和公式与梯形的面积公式间的联系. 如图，上底为，下底为，高为，梯形的面积即为数列之和， . 如图，梯形由一个三角形和一个平行四 ... ...