2024年浙江省宁波市高中数学竞赛试题（含答案）

2024年宁波市高中数学竞赛试题 一、单选题：本题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知两圆，，则“，有且仅有三条公切线”是“，相切”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.若，则函数的图象不可能是( ) A. B. C. D. 3.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点已知圆锥曲线经过旋转后其方程可以变为标准方程，则此曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 4.已知的内心为，垂心为，，若，则的大小落在区间( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.设，，是互不相等的正数，若关于的不等式成立当且仅当，则( ) A. B. C. D. 6.数列是等差数列，周期数列满足若集合，中恰有三个元素，则数列的周期的取值可能是( ) A. B. C. D. 7.已知棱长为的正方体，点是线段上的动点，点在侧面包含边界上且满足，下列结论正确的是( ) A. 对任意的点，总存在点使得 B. 三棱锥外接球的球心可以是线段的中点 C. 三棱锥外接球半径的最小值为 D. 二面角的正切的最大值为 三、填空题：本题共6小题，每小题8分，共48分。 8.已知函数，满足，则 ． 9.在斜三棱柱的条棱中任取条，则取出的两条棱所在直线异面的概率为 ． 10.在的方格表内填入，，，，若任何有公共边的两格内填的数之差的绝对值都不小于，则的最大值为 ． 11.已知位学生在某次数学测试中的成绩的平均值为，方差为，则这位学生成绩的中位数的最大值为 ． 12.设为椭圆与直线的交点，则过，分别作两坐标轴的垂线围成的矩形的面积的最大值为 ． 13.已知复数，满足，且，则的取值范围为 注：表示的实部 四、解答题：本题共5小题，共104分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 在中，角，，所对边分别为，，，且A. 判断的形状，并说明理由 若为等腰三角形，为边上一动点，作于点，求的最小值． 15.本小题分 已知函数． 求证： 若关于的不等式的解集为，求实数和的取值范围． 16.本小题分 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线分别交双曲线的两支于，两点，直线，与直线分别交于点，． 若为线段上一点，满足求点的轨迹方程 若，，求的取值范围． 17.本小题分 已知为素数，定义表示正整数的不被整除的最大因子记． 求证：为等比数列． 18.本小题分 设集合，，，，，将的每个子集的元素相加，得到个数空集的元素记为，将这些数按照不减的顺序排列，得到一组数，，，． 若，证明：若，则 若，，，为连续的个整数求符合要求的集合的个数有多少个 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.解：由题可得， 所以，即， 由余弦定理得：， ，即为直角三角形． 设则，，． 在中，由正弦定理得． 因为为等腰三角形， 所以， 当时，取到等号，所以的最小值为． 15.解：要证，只要证， 即证． 上式左边， 同理可得，上式右边，显然有左边右边，得证． 由不等式的解集为，可知函数的图象与过定点的两直线 ，的位置关系如图所示． 数形结合可得，是方程的根，可得 又由图象可知，不等式对任意恒成立， 可得， 从而对任意恒成立． 又函数在上单调递减，故，所以． 因此，，． 16.解：的斜率存在且不为，可设，，， 直线与双曲线联立，可得 所以，，且． 又，令可得，同理可得． 因为，所以． 设直线交直线于点，则为线段的中点， 所以 所以 与，联立可得，， 所以的轨迹为， 由，，可得，， ，． ， 因为，所以，所以 17.证明：依题意，下，面考察与的关系． 由于，，，中除，，，外其他数均不能被整除，显然， 所以， 则 所以． 所以，且， 所以为等比数列． ... ...