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课件网) 基本不等式 第二章 复习引入 重要不等式： 有 当且仅当时，等号成立. 思考：如果，我们用分别代替上式中的，，能得到什么结论？ 基本不等式： 当且仅当时，等号成立. 几何平均数 算术平均数 新知探索 证明：要证 ，① 只要证 ② 要证②，只要证 ③ 要证③，只要证 ④ 要证④，只要证 ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立. 把上述过程倒过来，直接推出基本不等式的方法叫作综合法. 分析法：结论→条件 综合法：条件→结论 新知探索 几何法 在图中，是圆的直径，点是上一点， 过点作垂直于的弦，连接 如何用？ 如何用？ 与的大小关系如何？ 典例分析 例1.已知求的最小值. 证明： 当且仅当即时，等号成立， 因此所求的最小值为2. 一正 二定 三相等 想一想，当时，成立吗？这时能说是的最小值吗？ 一般地，设函数的定义域为,如果存在实数满足： 都有 都有 那么我们称式的最小值. 典例分析 不等式模型 基本不等式： 变形1：当时，,当且仅当时取等号. 思考：若的取值范围吗？ 变形2：当时，,当且仅当时取等号. 典例分析 例2.已知都是正数，求证： (1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值； 当ab为定值时，便可求a+b的最小值.（积定和最小） 典例分析 例2.已知都是正数，求证： (2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值 当a+b为定值时，便可求ab的最大值.（和定积最大） 练习巩固 已知x，y都是正数，且x≠y，求证： 练习巩固 已知x，y都是正数，且x≠y，求证： 例3.(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 典例分析 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为篱笆的 长度为 (1)由已知得 由，可得 ∴ 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 典例分析 例3.(2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：(2)由已知得矩形菜园的面积为 由 可得 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园面积最大，最大面积是. 典例分析 例4.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为,深为如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为水池的总造价为元. 根据题意，有 由容积为,可得 ∴ 当时，上式等号成立，此时 所以，将贮水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 利用基本不等式求最值 题型一. 配凑积为定值 题型二. 配凑和为定值 利用基本不等式求最值 题型三. 分离法 题型四：两正实数和与它们倒数和之间关系 利用基本不等式比较大小 例题.若，，且，则，，，中最大的是（ ）. A. B. C. D. 变式.已知,,则之间的大小关系是( ). A. B. C. D.不确定 利用基本不等式证明不等式 例题.已知均为正数且求证：. 变式.已知求证：. ... ...
