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课件网) 掌握平行四边形对角线互相平分的性质. 经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透 转化思想， 体会图形性质探究的一般思路. 几何语言： 平行四边形定理1：平行四边形的两组对边分别相等. 在 ABCD中， AB＝CD，AD＝BC．（平行四边形的对边相等） ∠A=∠C, ∠B=∠D （平行四边形的对角相等） ∠A+∠B=180° ∠A+∠D =180° （平行四边的邻角互补） 平行四边形定理2：平行四边形的两组对角分别相等. 推论： 平行四边的邻角互补. 我们知道平行四边形是中心对称图形，绕中心O旋转180°后，你发现对角线什么特征 你有什么猜想？ A B C D O 猜想：平行四边形的对角线互相平分. A C D B O 已知：如图： ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC，AD∥BC. ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4. ∴ △AOD≌△COB（ASA）. ∴ OA=OC，OB=OD. 3 2 4 1 平行四边形的性质3： 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形 OA=OC OB=OD ∴ A D B C O 平行四边形的对角线互相平分. 例1 已知 ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC与BD的和是多少？ 解：在 ABCD中， ∵AB=6，AO+BO+AB=15， ∴AO+BO=15-6=9. 又∵ AO=OC，BO=OD(平行四边形的对角线互相平分) ∴AC＋BD ＝2AO+2BO =2(AO+BO) =2×9=18. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，平行四边形ABCD的周长是100cm，△AOB与△BOC的周长的和是122cm，且AC:DB= 2:1，求AC和BD的长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AB=CD，OB=OD， ∴AB+BC=50. ∵△AOB与△BOC的周长的和是122cm， ∴OA+OB+AB+OB+OC+BC=122， 即AC+BD=122-50=72. 又∵AC:DB=2:1， ∴AC=48cm，BD=24cm． 例2 如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF. A B C D F E O 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ODF=∠OBE, ∠DFO=∠BEO, ∴△DOF≌△BOE（AAS）, ∴AB∥CD, OD=OB, ∴OE=OF. 思考 改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗 A B C D O E F A B C D O E F A B C D O E F 请判断下列图中，OE=OF还成立么？ 同例3易证明OE=OF还成立. 【点睛】过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等. 总结提升 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC(平行四边形的对角线互相平分). ∵△AOB的周长+2=△BOC的周长， ∴AB+OA+OB+2=BC+OB+OC, 即AB+2=BC. 又∵ ABCD的周长等于16， ∴2(AB+BC)=16, 即4AB+4=16， ∴AB=3，BC=5. 例3 如图， ABCD的对角线AC,BD交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2. 求边AB和BC的长. 如图，在 ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.求BC、CD、AC、OA的长，以及 ABCD的面积. 解： ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴ BC=AD=8，CD=AB=10 ∵ AC⊥BC ∴△ABC是直角三角形 根据勾股定理得：AC= 又OA=OC ∴OA=AC=3 ∴平行四边形ABCD的面积=BC·AC=8×6=48. 例4 如图，在 ABCD中，对角线AC=21cm，BD⊥AC,垂足为点E,且BE=5cm,AD=7cm. 求AD和BC之间的距离. 解：设AD和BC之间的距离为x，则 ABCD的面积等于AD·x. ∵ ， ∴ , 即7x=21×5， ∴x=15(cm). 即AD和BC之间的距离为15cm. 如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积. 解：设AB=x，则BC=24-x. 根据平行四边形的面积公式可得5x=10(24-x)， 解得x=16． 则平行四边形ABCD的面积为5×16=80． 【点睛】已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解. 问题 平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为四个三角形，它们的面积有怎样的 ... ...
