2025年高考数学一轮复习考点突破和专题检测 专题15 导数的应用--函数的零点问题 (原卷版+解析版)

专题15 导数的应用--函数的零点问题5题型分类 1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围. 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数. 2、函数零点的求解与判断方法： （1）直接求零点：令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）＜0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点． （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将整理变形成的形式，通过两函数图象的交点确定函数的零点个数；三、结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数. 4、利用导数研究零点问题： （1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像； （2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题； （3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究. （一） 函数零点的求解与判断方法 (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． （4）结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数. 注：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方 题型1：利用导数研究函数的零点个数 1-1．（2024高三下·江苏常州·阶段练习）已知，（n为正整数，）． (1)当时，设函数，，证明：有且仅有1个零点； (2)当时，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）对进行二次求导，根据二阶导数的单调性，确定一阶导数的正负，从而判断原函数的单调性，结合零点存在定理，即可求证. （2）根据题意，只需证即可，结合结合同构函数，即可容易证明. 【详解】（1）当时， 记，则 所以在区间上单调递增 而， 所以存在，使得，即 当时，，单调递减 当时，，单调递增 又，， 所以在上没有零点，在上有一个零点， 综上所述，函数在内只有一个零点. （2）当时，， 要证， 即证， 令，则， 所以在单调递减，，即， 要证只需证， 令，则， ∴在单调递减，在单调递增， ∴，即， ∴，即， 所以成立， ∴原命题得证. 【点睛】本题考查利用导数证明函数的零点个数，以及利用导数证明不等式恒成立，解决第二问的关键是利用进行放缩，以及利 ... ...