1.1 锐角三角函数 同步分层练习讲义（原卷+解析卷）

1.1 锐角三角函数 同步分层练习讲义 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA cosA． 知识点3．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 中小学教育资源及组卷应用平台 知识点4．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 题型强化 题型一．锐角三角函数的定义 1．（2024 丽水一模）如图，在中，，，，则的值是　　 A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义判断即可． 【解答】解：在中，，，， ， 故选：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦、余弦、正切是解题的关键． 2．（2024 南湖区校级一模）在中，，，则的值为 　　． 【分析】根据勾股定理，可得，根据锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，可得答案． 【解答】解：设，，由勾股定理，得 ， 由三角函数的正弦等于对边比斜边，得 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 3．（2022 湖州）如图，已知在中，，，．求的长和的值． 【分析】根据勾股定理求的长，根据正弦的定义求的值． 【解答】解：，，， ， ． 答：的长为4，的值为． 【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 题型二．同角三角函数的关系 4．（2024 宁波模拟）在中，已知，设，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义得，，可得，根据三角形三边的关系得，所以，即可得出答案． 【解答】解：，， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和三角形三边的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义和三角形三边的关系是关键． 5．（2024 宁波模拟）已知，则　　． 【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数的意义，设辅助未知数可求出答案． 【解答】解：如图，在中， 由于， 设，则， 由勾股定理得， ， 所以， 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理，锐角三角函数，掌握锐角三角函数的意义以及勾股定理是正确计算的前提． 6．（杭州模拟）下列关系式是否成立，请说明理由． （1）； （2）． 【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立； （2）举出反例进行论证． 【解答】解：（1）该不等式不成立， ... ...