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课件网) 第1讲 空间几何体的结构、表面积与体积 领航高考风向标 通览主干知识 1.空间几何体的表面积与体积公式 球的表面积恰好是球的大圆面积的4倍 2.线面、面面平行的判定及性质定理 (1)线面平行的判定定理:a α,b α,a∥b a∥α; (2)线面平行的性质定理:a∥α,a β,α∩β=b a∥b; (3)面面平行的判定定理:a α,b α,a∥β,b∥β,a∩b=P α∥β; (4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b a∥b. 3.线面、面面垂直的判定及性质定理 (1)线面垂直的判定定理:m α,n α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n l⊥α; (2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α a∥b; (3)面面垂直的判定定理:a β,a⊥α β⊥α; (4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a α,a⊥l a⊥β. 4.利用空间向量证明平行、垂直 设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分别为u=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),则 (1)线面平行 l∥α a⊥u a·u=0 a1a2+b1b2+c1c2=0. (2)线面垂直 l⊥α a∥u a=ku a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2(k为常数). (3)面面平行 α∥β u∥v u=λv a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3(λ为常数). (4)面面垂直 α⊥β u⊥v u·v=0 a2a3+b2b3+c2c3=0. 5.利用空间向量求空间角 (3)二面角:设二面角的两个半平面α,β的法向量分别为n1,n2,二面角的大小为θ(0≤θ≤π),则|cos θ|=|cos
| 公式两边都有绝对值,所以两角相等或互补 利用空间向量求空间角时,一定要注意角的取值范围.对于二面角,要注意题目条件是否明确是锐角还是钝角,如果没有说明,则结合图形特点判断.若求两个不平行平面的夹角,则取直角或锐角. 6.利用空间向量求点到平面的距离 如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的 链高考1.(2024新高考Ⅰ,5)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为( ) B 链高考2.(2023全国甲,理15)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点. 12 解析 设EF的中点为O,则球O的直径为EF.因为O点也是正方体ABCD-A1B1C1D1的中心,所以O点到各棱的距离均等于OE,故以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有12个公共点. 链高考3.(2024全国甲,理10,文11)设α,β为两个平面,m,n为两条直线,且α∩β=m.下述四个命题: ①若m∥n,则n∥α或n∥β ②若m⊥n,则n⊥α或n⊥β ③若n∥α且n∥β,则m∥n ④若n与α,β所成的角相等,则m⊥n 其中所有真命题的编号是( ) A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ A 解析 对于①,若m∥n,若n α且n β,则n∥α且n∥β,若n α,则n∥β,若n β,则n∥α,故①正确;对于②,若n⊥m,则n与α和β不一定垂直,②错误;对于③,若n∥α且n∥β,由线面平行的性质可证明n∥m,③正确;对于④,当n∥α且n∥β,n与α,β所成的角都为0°,此时n∥m,④错误.故选A. 链高考4.(2023新高考Ⅰ,18节选) 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.证明:B2C2∥A2D2. 证明 (方法一)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,以点C为坐标原点,CD,CB, CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如右图所示的空间直角坐标系. (方法二 几何法) 设棱DD1上的点N满足DN=AA2=1,取CC1的中点M,连接A2N,MN,B2M,如图. 因为DN∥AA2,且DN=AA2,故四边形AA2ND为平行四边形,所以A2N∥AD,且A2N=AD.同理可证,B2M∥BC,且B2M=BC.因为AD∥BC,且AD=BC,所以A2N∥B2M,且A2N=B2M.所以四边形A2B2MN为平行四边形.因为D2N∥C2M,D2N=C2M=1,所以四边形C2D2NM为平行四边形.所以A2B2∥MN,A2B2=MN,MN∥C2D2,MN=C2 ... ... 