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课件网) 培优拓展(十)球的“切”“接”问题 空间几何体的外接球和内切球是高中数学的难点和重点,也是高考命题的热点.既有相对简单的几何体的外接球和内切球问题,也有难度较大的特殊几何体模型问题,题型为选择或填空题. 角度一 三棱锥的外接球问题 热点一 墙角模型 例1(2024河北保定模拟)已知S,A,B,C是球O表面上的不同点,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=1,BC= ,若球O的表面积为4π,则SA=( ) B 解析 如图,由SA⊥平面ABC,可知SA⊥AB,SA⊥BC. [对点训练1](2024陕西咸阳二模)已知三棱锥D-ABC中,AB=4,AC=3,BC=5, DB⊥平面ABC,且DB=4,则该三棱锥的外接球的表面积为 . 41π 解析 因为AB=4,AC=3,BC=5,所以AB2+AC2=BC2,所以∠BAC=90°.又DB⊥底面ABC,AB,BC 平面ABC,所以DB⊥AB,DB⊥BC,所以三棱锥D-ABC的外接球即为以AB,AC,DB为棱的长方体的外接球,其中DC为该长方体体对角线,即该三棱锥的外接球的半径 热点二 对棱相等模型 例2在三棱锥P-ABC中,已知 ,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为( ) A.77π B.64π C.108π D.72π A 解析 因为三棱锥的对棱相等,所以可以把它看成某个长方体的面对角线构成的几何体.设长方体过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,且长方体的面对 [对点训练2]若四面体ABCD中,AB=CD=BC=AD= ,AC=BD= ,则四面体的外接球的表面积为 . 6π 解析 如图,因为四面体的对棱相等,所以可以把它看成某个长方体的面对角线构成的几何体. 热点三 垂面模型 例3(1)(2023全国乙,文16)已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上,△ABC是边长为3的等边三角形,SA⊥平面ABC,则SA= . 2 (2)已知三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,PB=2 ,AC=6,∠ABC=120°,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为 . 60π 解析 由题意,将三棱锥P-ABC补成直三棱柱(图略),则该直三棱柱的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球,且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圆圆心连线的中点上. [对点训练3](2024四川凉山二模)已知在三棱锥P-ABC中,PA= ,PB=PC=2,底面ABC是边长为1的正三角形,则该三棱锥的外接球表面积为( ) B 解析 如图,在三棱锥P-ABC中,PA= ,PB=PC=2,△ABC的边长为1,则PA2+AB2=PB2,所以PA⊥AB.同理,PA⊥AC. 又AB∩AC=A,AB,AC 平面ABC,所以PA⊥平面ABC. 设△ABC的外心为O1,三棱锥P-ABC外接球球心为O, PA的中点为D,连接OP,OD,OO1,O1A,易知四边形ADOO1是矩形, 角度二 内切球问题 例4在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD=1,则其内切球的表面积为( ) C 解析 如图,因为四面体ABCD四个面都为直角三角形,AB⊥平面BCD,所以AB⊥BD,AB⊥BC. 又BC⊥CD,所以AC⊥CD. [对点训练4]已知三棱锥P-ABC的棱长均为4,先在三棱锥P-ABC内放入一个内切球O1,然后再放入一个球O2,使得球O2与球O1及三棱锥P-ABC的三个侧面都相切,则球O2的表面积为 . 角度三 与球切、接有关的最值问题 例5已知正三棱锥的外接球半径R为1,则该正三棱锥的体积的最大值为( ) C 解析 如图所示,设该正三棱锥的高为h,底面外接圆的半径为r,底面面积为S, 由球的对称性可知,若使正三棱锥的体积最大,则其外接球的球心一定在三棱锥内部,即1
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