2025 年普通高等学校招生全国统一考试 高考模拟调研卷数学(二) 数学测试卷共 4 页, 满分 150 分。考试时间 120 分钟。 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1 已知集合 ,若 ,则 的取值范围是 A. B. C. D. 2. “ ” 是 “ ” 的 A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设向量 ,若 ,则 A. -6 B. -4 C. -2 D. 0 4. 已知 ,则 A. B. C. D. 5. 随机投掷一枚质地均匀的骰子,该骰子六个面分别刻有两个1,两个2,两个3共六个数字,若掷出的数字为 ,则再从数字 中随机选取一个数字,则选出的数字为 2 的概率为 A. B. C. D. 6. 若 ,则 A. B. C. D. 7. 已知等差数列 和 的前 项和分别为 ,若 ,则 A. B. C. 28 D 8. 已知直线 与圆 相切,则 的最大值为 A. 1 B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对得6 分, 部分选对得部分分, 有选错得0分。 9. 已知 为虚数单位,复数 满足 ,则 A. 在复平面内对应的点在第一象限 B. 的虚部为 C. D. 10. 已知圆锥曲线 的离心率为方程 的根,则实数 的值可能是 A. B. C. 6 D. -6 11. 在锐角 中,内角 的对边分别为 ,若 ,则下列说法正确的是 A. B. 的取值范围为 C. 的最小值为 D. 的取值范围是 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。 12. 的展开式中的各项系数和为 243,则该展开式中 的系数为_____. 13. 已知 是 上的奇函数,当 时, . 若 ,则 的取值范围为_____. 14. 如图所示,平面五边形 由一个直角梯形 和一个以 为顶角的等腰 组成,其中 . 将 沿着 翻折, 在翻折过程中,当四棱锥 的体积取得最大值时,三棱锥 的外接球的体积为 ,则 的长度为_____. 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13 分) 如图,点 为平面 外一点, 面 ,底面矩形 面积为 12,外接圆周长为 ,且 . 点 分别为线段 的中点,还接 . (1)证明: 直线 平面 ; (2)求直线 与平面 所成角的正弦值. 16.(15 分) 已知数列 的前 项和为 ,且 分别满足: , . (1)求通项公式 ； (2)求数列 的前 项和. 17.(15 分) 近年来某地在经济工作中坚持稳中求进工作总基调,在淘汰落后产能的同时大力发展新质生产力,下图是该地近几年来新型规模以上工业企业生产总值(y)的柱状图 (单位: 亿元),记2017年,2018年, 当的年编号(x)依次为 . (1)求 2017 至 2022 年新型规模以上工业企业生产总值的平均数 ； (2)在 与 中选择合适的模型计算 关于 的回归方程； (3)若上级领导将在 2022,2023,2024,2025,2026 这五年中任意抽取 3 年来研究该地新质生产力发展情况,记 为抽到的工业企业的生产总值超过 12000 亿元的年份数目,并用 (2) 中回归方程估计,求 的分布列和数学期望. 参考数据: 8.46 10198 12705 17.5 20950 3.85 其中 ,附: 经验回归方程中 和 的最小二乘估计公式为 . 18.(17 分) 已知函数 . (1)当 时,求函数 的单调性； (2)若 恒成立,求 的取值范围； (3)若 有三个极值点,求 的取值范围. 19.(17 分) 已知双曲线 ,第一象限中横坐标为 2 的点 在 上,直线 的斜率为 . 当 时,过点 作 的平行线交双曲线 左支于点 ,过点 作 轴的垂线交双曲线 右支异于点 的点 . (1)当 时,求点 的坐标; (2)设 表示点 的纵坐标,求 的取值范围； (3)设 表示 的面积,证明: 数列 为常数列. 当 时,同 (2) 理得 ,所以数学（二）参考答案 一、选择题： 1~8 BDBB CACC 8题提示：依题意，有d=Nc+ab =1,解得a2+42=c+ab, Ya2+4b2 因为-+4的-g+驰-12号日 b a4的-1=3， ab b a 所以b<1,当且仅当=是，即a=2b时等号成立. b a 二、选择题： 9.AD 10.ABD 11.AB 11题提示：因为b2=a2+aC=a2+c2-2 ac c ... ...
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